条件概率学习心得_概率论学习心得

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条件概率学习心得

摘要：条件概率是概率论基础中的一个重要知识，是往后学习的积事件概率和全

概率公式的基础。本文就围绕条件概率和全概率公式来分享一下我的学习

心得。

关键词：条件概率 实际应用价值 全概率公式 n重贝努利实验

一、基本公式的描述

1、条件概率公式: 设A和B为任意两个事件，且P(B)>0，则称比值 发生的情况下的条件概率，记作

P(AB)为事件A在B

P(B)P(AB)P(AB)=

P(B)

2、乘法公式: P(AB)= P(A)P(B/A)乘法公式的另外一种形式: P(AB)= P(B)P(A/B)

由于公式部分相对比较简单易懂，此处不添加例题。

二、理清条件概率和积事件以及n重贝努利实验之间的关系

刚接触条件概率的时候很容易将条件概率和积事件概率混在一起分不清，理清这二者的关系对往后的学习至关重要。

不妨设A,B是随机试验样本空间S中的两个子事件,P(AB)表示A和B同时发生的概率,P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率。从样本空间的角度来看,这俩对应的样本空间发生了改变。求P(AB)时,样本空间不变，还是在S中进行讨论。而求P(B|A)时,因为前提中已经知道了一个条件(即A已发生)，所以样本空间发生了改变，这时所考虑的样本空间的范围缩小了。所以,积事件（AB）与事件（B|A）是两种截然不同的事件。而它们之间的联系就体现在乘法公式中：

P(AB)= P(A)P(B/A)

例1：设袋中有3个红球，2个白球，每次从中取一个球后不放回，求下面事件发生的概率：

①连续两次取出红球的概率

②在第一次取出红球的情况下，第二次取出红球的概率。

解：

①设事件A“连续两次取出红球” 1 P（A）=32=1/9 ②设事件A“第一次取出红球”

事件B“第二次取出红球”

11*P(AB)331 P(BA)===

1P(A)33分析：由这题可以明显看出，积事件的样本空间是全体事件，而条件概率的样本空间是

事件A。

条件概率和n重贝努利实验概率这两个事件在一般情况下不容易混淆概念，但在实际的做题中却很容易会因为追求速度而忽略这两者的区别而导致出错。

例2：某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中抽取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴已经用完。如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率。

开题分析：这类题目是最容易迷惑人的，考试时候心急想尽快做完题目，就很容易会出现下面这种错误。

误解：

设： 事件A“第2n-r次抽取时，第一盒火柴用完了”

事件B“第二盒还剩r根”

第一盒被抽完时，第二盒还剩r根的概率为P(由条件概率公式得：P（AB)

AB)=P(AB)P(A)2nr11 P（AB）=C2nr12n1*2

P（A）=1/2 故：P（AB)=

Cn12nr1122nr1

错误分析：

这道题第一眼看上去，当A发生时B发生的概率，很像是条件概率的问题，但实际上我们细心分析就能知道当第一盒火柴在第2n-r次被用完的时候，第二盒火柴必然是剩下了r根的，所以P(AB)=1，但这显然不是题目所要求的。这道题应该按照n重贝努利实验来做。

正解：

设：事件A“发现一盒已经用完另一盒还有r根”

事件B“发现甲盒已经用完乙盒还有r根”

则 P(A)=2P(B)B发生等价于甲盒拿了n+1次，乙盒拿了n-r次，共进行了2n+1-r次实验，而

且前2n-r次实验，甲发生了n次，第2n+1-r次实验甲发生了。

故 P(B)=

Cn2nr12C2nr1

从而 P(A)=2p(B)=

n2nr122nr

三、全概率公式

1、全概率公式:设一事件B，有A1,A2,A3...An 是互不相容的事件且P（Ai)>0（i=1,2,3„n），若对任A1,A2,A3...AnB，则

ni1

P(B)p(Ai)P(BAi)

全概率公式的基本思想就是将一个复杂事件的概率分解成若干个互不相容的简单事件的概率之和。分解的关键是如何找出互不相容的事件组A1,A2，,An,使得复杂事件B的出现必然有事件Ai之一伴随出现,然后将B剖分给Ai,到了这一步只要用一次加法公式和乘法公式便可得到全概率公式。

这里的BAi就是所谓的/简单事件0,因为利用概率的乘法公式,容易求得它们发生的概率为P(BAi)=P(Ai)P(B/Ai)。其中P(Ai)是考虑导致事件B发生时的若干个不同假设情况的概率,它们往往是已知的或能求出的;P(B/Ai)所表示的是在若干个假设事件Ai发生的条件下事件B发生的概率,它可以从题目的已知条件直接得出或间接导出。

例3：某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人,二级射手8人,三级射手7人,四级射手1人.一、二、三、四级射手能通过选拔进入比赛 的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。分析：第一步：判断问题可否采用全概率公式求解。题目中具有四个射手并构成了选拨赛的最终结果，所以可以运用全概率公式；

第二步：找出完备事件组及其相关概率；

第三步：按照题目要求计算所求概率。

解：设事件A“射手能通过选拔进入比赛”

事件Bi“射手是第i级射手”.(i=1,2,3,4)显然, B1、B2、B3、B4构成一完备事件组, 且 P(B1)=4/20, P(B2)=8/20, P(B3)=7/20, P(B4)=1/20 P(A|B1)=0.9, P(A|B2)=0.7, P(A|B3)=0.5, P(A|B4)=0.2 由全概率公式：

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)+P(A|B4)P(B4)=0.9×4/20+0.7×8/20+0.5×7/20+0.2×1/20 =0.645.四、条件概率对现实生活的指导作用

数学这门学科来自生活最终肯定也是回归到生活，我们不妨看一道现实生产的问题来体会条件概率在现实生活中的指导意义。

例4.1：已知一批产品96%是合格品，检查产品时，一个合格品被认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认为是正品的概率是0.05，求在检测后被认为是正品的产品确实是正品的概率。

解： 设事件A“任取一件产品，经检查是正品”

事件B“任取一产品确实是正品”

则 A=BA+BA

AB)+P(B)P(P(A)=P(B)P（AB)=0.9428

=0.998

P(B)P(AB)所求概率为P(BA)=

P(A)

分析：这道题相对比较简单，只要掌握了条件概率的基本原理就能够轻松地应对，所以我们不妨再进一步的探索。

例4.2： 条件如例3.1，求一件被检测为次品的产品是正品的概率。解： 设：事件A“任取一件产品被检测为次品”

事件B“抽取一件产品，这件产品是正品”

显然： A=BA+BA

同上题，P(A)=P(B)P(P（AB)+P(B)P（AB)=0.0572 BA)=0.3357

由上面的两个计算结果可以清晰地看出：如果产品检验为合格，那么这个产品真正合格的概率高达99.8%，我们可以完全放心地使用这件产品。

但如果一件产品被检测认定为次品，虽然正品误判为次品的概率低至2%，误诊率居然还是高达33.57%，换言之，每三件检测结果为次品中居然就有一件是正品。工厂实在有必要对第一次检测为次品的产品进行复查来降低产品的消耗率。

五、结束语

参考文献：

【1】吴 静,陈 莉；《浅析全概率公式的应用》；福建医科大学学报2008年3月 第1期 【2】张克军；《关于条件概率及其应用的教学研究》；徐州教育学院学报 2008年9月第23 卷第3期 【3】严小宝；《浅析条件概率》；丽水职业技术学院报，2011年4月 【4】韩春英；《条件概率系列公式的学习技巧》，天津职业院校联合学报，2007年3月