勾股定理证明（精选4篇）_证明勾股定理

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第1篇：勾股定理证明

勾股定理证明

直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

以下即为一种证明方法：

如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

∵△ABE＋△AED＋△CED＝梯形ABCD

∴（ab+ab+c²）÷2＝(a+b)(a+b)/2 ∴

∴c²=a²+b²，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和

初二十四班秦煜暄

第2篇：勾股定理证明

勾股定理的历史及证明

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。

那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图）

中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作——《周髀算经》，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”

商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形„矩'得到的一条直角边„勾'等于3，另一条直角边‟股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。中国古代数学家

们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。

【证法】（辛卜松证明）

D

D

图一图二

设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成图一所示的几个部分，则正方形ABCD

2aba2b22ab； 的面积为

把正方形ABCD划分成 图二所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =2abc2.∴a2b22ab2abc2,∴a2b2c2.ab241abc22

第3篇：勾股定理证明

勾股定理证明

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：

周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?”

商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”

从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦(c)来表示斜边，则可得：

勾2+股2=弦

2亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术一书》中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说;“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：

弦=(勾2+股2)(1/2)

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子：

4×(ab/2)+(b-a)2=c2

化简后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=(a2+b2)(1/2)

赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。

中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”。

第4篇：证明勾股定理

勾股定理的应用

一、引言

七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说，要画一个2×2的，边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形（表示方格面积的一半）。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了，老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”用勾股定理就可以很简便的解出。就勾股定理，我查阅了一些资料，弄清楚了它的意义以及它的2种证明方法。

二、提出问题

1、什么是勾股定理？

2、怎么证明勾股定理？

三、问题求解（1）中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

勾股定理用文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。勾股定理示意图

用数学式表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

（2）针对它的证明方法，我查阅了一些相关的资料，通过我自己的整理和理解，得出了2种证明方法。

方法一：（课本的证明）

做8个全部相同的直角三角形，设它们的直角边长分别为a和b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成两个大正方形，如下图所示：

由上图可知，两个大正方形的边长都是a加b，所以面积是相等的。用方程表

1示它们的面积关系，得：（a+b）²=c²+4× ab

2（a+b）(a+b)=c²+2ab

a(a+b)+b(a+b)=c²+2ab

a²+ab+ab+b²=c²+2ab

a²+b²+2ab=c²+2ab

a²+b²=c²

方法二：（利用相似三角形性质证明）

在直角三角形ABC中，设直角边AC和BC的长度分别为a和b，斜边AB的长度为c。过点C做AB的垂线CD，垂足是D。如图所示：

在直角三角形ABC与直角三角形ACD中，因为角ADC=角ACB=90度

角CAD=角BAC，所以它们互为相似的直角三角形。

因为它们互为相似的直角三角形，所以它们在各个线

段上的三角形边长的比值都是相同的。即ADAC =ACAB

对角相乘得AC²=AD·AB，同理可证，右边的直角三角形BCD与直角三角形ABC也是互为相似的直角三角形的。从而有了BCAB =BDBC

对角相乘得 BC²=BD·AB，因为（AC²=AD·AB）=（BC²=BD·AB）

所以AC²+BC²= AD·AB+BD·AB

AC²+BC²=(AD+BD)·AB

AC²+BC²=AB·AB

AC²+BC²=AB²

即a²+b²=c².四、总结与感想 随着数学水平的提高，很多数学的定理和公式都被人们一一推敲了出来，勾股定理就是其中的一个重大的发现。勾股定理是人们认识宇宙中形规律的自然起点，无论在东方还是西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，比如用它就可以很方便地把引言中的问题解决掉。答案是3.75尺。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数，就如引言中的画根号2一样。

我想说的是，虽然勾股定理看似简单，只是一句话，但是它的意义以及作用是无穷大的。认识和掌握勾股定理对初一的无理数有着一定的帮助。我作为一个初一的学生，能力毕竟有限，只能把勾股定理推敲到这里。以后我一定会再接再厉，玩转勾股定理！

2013.11