证明等式（精选7篇）_等式证明

证明等式（精选7篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等式证明”。

第1篇：证明等式和不等式

证明等式和不等式

利用韦达定理可以证明一些等式和不等式，这常常还要用判别式来配合．

例11 已知实数x，y，z满足

x=6-y，z2=xy-9，求证：x=y．

证

因为x＋y=6，xy=z2＋9，所以x，y是二次方程

t2-6t+(z2+9)=0的两个实根，于是这方程的判别式

△=36-4(z2+9)=-4z2≥0，即z2≤0．因z为实数，显然应有z2≥0．要此两式同时成立，只有z=0，从而△=0，故上述关于t的二次方程有等根，即x=y．

例12 若a，b，c都是实数，且

a＋b＋c=0，abc=1，证

由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得

于是根据韦达定理知，b，c是方程的两个根．又b，c是实数，因此上述方程的判别式

因为a＞0，所以

a3-4≥0，a3≥4，例13 知x1，x2是方程4ax2-4ax+a+4=0的两个实根．

解

(1)显然a≠0，由△=16a2-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韦达定理知

所以

所以a=9，这与a＜0矛盾．故不存在a，使

(2)利用韦达定理

所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．结合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．

练习八

1．选择：

(1)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [

]

(A)△＞M(B)△=M(C)△=＜M(D)不确定

(2)方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则

[

]

(A)-4(B)8(C)6(D)0

为 [

]

(A)3(B)-11

(C)3或-11(D)11 2．填空：

(1)如果方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，那么，p，q满足的关系式是______．

(2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，1993+5a2+9a4=_______．

(4)已知a是方程x2-5x+1=0的一个根，那么a4+a-4的末位数是______．

另一根为直角边a，则此直角三角形的第三边

b=______．

3．已知α，β是方程x2-x-1=0的两个实数根，求α4+3β的值．

4．作一个二次方程，使它的两个根α，β是正数，并且满足关系式

5．如果关于x的方程x2+ax+b=0的两个实数根之比为4∶5，方程的判别式的值为3，求a，b的值．

第2篇：三角形中三角等式证明

3．10 三角形中三角等式证明

1．三角形中的相关定理：勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理； 2．灵活进行边角较换，恒等式证明.【典型例题】

例1．在ΔABC中

ABC（1）求证：sinA + sinB + sinC = 4coscoscos.222（2）求证：sinA + sinB + sinC = 4 sinAsinBsinC.例2．在ΔABC中

ABBCCA（1）求证：tantantantantantan1.222222ABC（2）求证：tan2tan2tan21.问什么情况下取等号.222BCCAAB例3．在ΔABC中，求证sin(B + 2C)+ sin(C + 2A)+sin(A + 2B)= 4sinsinsin.222ABC例4．已知A、B、C是锐角,求证:cosA + cosB + cosC = 1+ 4sinsinsin的充要条件

222是A+B+C=π.【基础训练】

1．ΔABC中，cosA33sinA,则A的值为

（）

2 A．

B．

C．

D．或

2263672．若三角形的一个内角α满足sinα+cosα=，则这个三角形一定是

（）A．钝角三角形

B．锐角三角形

C．直角三角形 D．以上三种情况都可能 3．在ΔABC中，∠A>∠B，是sinA > sinB的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 4．在ΔABC中，∠C=60°，则cosAcosB的取值范围是

（）

11311 A．(,]

B．[0,]

C．[,]

D．以上都不对

244445．在ΔABC中，C=90°，则sin(A－B)+cos2A=___________.【拓展练习】

1．ΔABC中，下述表达式：

ABCBCA（1）sin(A+B)+sinC；（2）cos(B+C)+cosA；（3）tantan；（4）coec2222表示常数的是

（）

A．（1）和（2）

B．（1）和（3）

C．（2）和（3）

D．（2）和（4）

12．半径为1的圆内接三角形，三边长为a、b、c面积为，则下列结论成立的是

（）A．abc > 1

B．abc

C．abc = 1

D．以上都不正确 3．设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是

（）

A．tanαtanβ1

B．sinα+sinβ

1D．tan()tan()

224．在ΔABC中，化简sin2B + sin2C－2cosAsinBsinC=_______________.ABCABC5．在ΔABC中，化简sin2sin2sin22sinsinsin______________.2223226．在ΔABC中，化简cos4A+cos4B+cos4C－4cos2Acos2Bcos2C=______________.1cosAcosBcosCBC7．在ΔABC中，求证：tancot.1cosAcosBcosC222228．在ΔABC中，求证：（1）sinA + sinB + sinC = 2 +2cosAcosBcosC.（2）求证：cos2A + cos2B + cos2C = 1－2cosAcosBcosC.9．已知a + b + c = abc.求证：

2a1a22b1b22c1c28abc(1a)(1b)(1c)222.10．在ΔABC中，若cos3A + cos3B + cos3C = 1，求证：ΔABC中必有一个内角为120°.xyyzzx11．已知任意角x，y，z满足关系式cosx + cosy－cosz = 4cos，sinxsin222试求x + y + z的值.12．锐角ΔABC中，O、G分别为此三角形的外心和重心，若OG//AC，求证：tanA、tanB、tanC成A、P.2

第3篇：如何用配方法证明等式

如何用配方法证明等式

配方法是中学数学中的一个最基本的数学方法,通过它对代数式的恒等变形,使许多复杂的问题得以简单化.现在我们就用配方法来证明恒等式和条件等式.一.通过配方直接证明等式成立

例1 求证

(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)222222222

2证明左边=(a2x2a2y2a2z2b2x2b2y2b2z2c2x2c2y2

cz)(axbycz2axby2axcz2bycz)22222222

bx2axbyaycx2axczazcy2byczbz

(bxay)(cxaz)(cybz)***

所以左边=右边

即:(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)2222222222

例2 已知(ca)24(ab)(bc)0，求证a、b、c成等差数列（即证明 a2bc0）

证明c22aca24ab4ac4b24bc0

c4ba4ab4bc2ac0

(a2bc)0222

2a2bc0

bac

2所以a、b、c成等差数列

二.通过配方,把已知的等式化为几个实数的平方和等于零的形式，就是说化为a2+b2+c2=0则

a=b=c=0从而从而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零实数，且abcxyzaxbycz，求证x

ay

bz

c22222

2222222证明由已知条件可以得到：abcxyz2ax2by2cz0

即：(xa)(yb)(zc)0222

xa0xa

yb0yb

zc0zc

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xaybzc 已知a、b、m、n都是正数，并且a4b4m4n44abmn0

求证abmn

证明将已知等式的左边进行配方可得：

a2abbm2mnn2ab2mn4abmn0422442242222

(a2b2)2(m2n2)22(abmn)20

a2b20

22mn0

abmn0

ab

abmn a,b,m,n都是正数mn

22bn0

综上所述，我们在解题过程中一方面要充分认识完全平方公式的特点(ab)a2abb，然后逆用公式进行证明如例1和例2。另一方面也要利用它的非负222

性的性质：(ab)20当且仅当a=b时等号成立。通过添加适当的项构造出完全平方式进行等式的证明如例3和例4。

第4篇：等式·

数学基本功

等式·文正书院·

定义与形式

定义：含有等号的式子叫做等式。

形式：把相等的两个数(或字母表示的数)用等号连接起来。

等式的性质：

1.等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式。

即，如果a=b，那么a+m=b+m，a－m=b－m；

2.等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零)，所得的结果仍是等

式。即，如果a=b，那么am=bm，ab(m0)； mm

3.如果a=b，则b=a，这是等式的对称性；

4.如果a=b，b=c，则a=c，这是等式的传递性；

5.等式的两边同时乘方(或开方)，两边依然相等(在代数式有意义的情况下)。

即，如果a=b，那么有ab或ab。

扩展：

 等式两边取相反数，结果仍相等。如果a=b，那么－a=－b；

 等式两边不等于0时，两边取倒数，结果仍相等。如果a=b≠0，那么cc11； ab

 自反性：对任意量a，a = a。这个性质通常在数学证明中作为中间步骤，尤其几何

证明中；

 约等于的符号是 ≈，由“约等于”永远推导不出“等于”。

 解方程

由于等式的性质，才能可以导出解方程中的移项法则及去分母法则：

移项法则：将含未知数的项移到左边，同时进行变号；常数项移到右边，同时进行

变号。

(在等式的两边同时加上或减去同一个数或式，等式仍然成立。)

去分母法则：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数。

(在等式的两边同时乘以或除以同一个数或式，等式仍然成立。)

 解不等式 移项法则可无条件的运用于解不等式；

而去分母法则在被乘数或被除数为正时成立，为负时，则需改变不等号的方向。

 分式的基本性质:

分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

由此而产生了分式的约分与通分。

 约分是为了简洁代数式，通分是为了分式的加减运算。

 约分是浓缩，通分是膨胀；

 约分与通分都是代数式的自我运算。

第5篇：等式教案

等式及其性质

【教学内容】

教科书第77页例

1、例2。【教学目标】

1认识等式，说出等式的意义。

2知道等量并会从实际情境中找出等量。3理解和掌握等式的基本性质。4 能对等式的性质进行简单应用。【教学重、难点】 1理解等式的意义。

2能从实际情境中找出等量并写出等式。3 理解等式的基本性质及简单应用。【教具准备】 课件。

【教学过程】

一、复习导入 课件出示：

1、用含字母的式子表示数量关系。

2、用含字母的式子表示数量关系书写要求填空。学生独立完成后汇报结果。

师：通过刚才的练习，同学们都能含字母的式子表示数量关系，提问：生活中有没有相等的数量关系呢？

二、引入新课：

（一）等式的意义 师：让我们来看看云岭小学组织五年级同学们清明节扫墓活动。课件出示主题图。师：你都知道了哪些数学信息？

生：五年级共有55名学生，中巴车上有17人，大巴车上有38人。分析数量关系，建立模型

师：要表示中巴车上的人数，可以怎样表示？ 生：可以用17表示。（师板书17人）

师：还能用其他的方式表示中巴车上的人数吗？ 同桌议一议。

生：我们还可以用（55-38）人表示中巴车上的人数。师板书：（55-38）人。

师：同学们真会动脑筋，用总人数-大巴车上的人数=中巴车上的人数。

师：请观察，（指板书）现在我们用了哪些方法可以表示“中巴车上的人数”？ 同桌交流。抽生汇报。

生：中巴车上的人数可以用17人表示，还可以用（55-38）人表示。师：那它们的大小怎样？ 生：大小相等。师小结：一个量可以直接表示出来，也可以通过另外的量间接表示出来，这里的17人和（55-38）人都表示的是中巴车上的人数。

师：数学上把表示等量的数或式子可以用等号连接起来。在17和（55-38）之间加上等号。（板书：添等号）提问：还能找出哪些等量关系？

学生交流，抽学生说。（55=17+38，38=55-17等）

师：用字母a表示中巴车上的人数，用b表示大巴车上的人数，又可写出哪些等量关系呢？

生：抽学生说，师：写出等量关系。板书：表示相等关系的式子是等式。

试一试，在实际生活情景中，找出等式。出示课件 生：交流找出等式 并板书出来。提问：你知道什么是等式了吗？ 生：知道

哪我们来看看是否掌握了呢？

出示题，判断下列哪些是等式？（题中表示不等关系的式子叫什么呢？不等式）

（二）等式有什么性质呢？

同学们知道天平称吗？ 课件出示：天平，认识天平及天平原理。师：天平平衡，说明什么？ 生：说明左右两边的质量相同。

师：所以，可以用等式表示它们的关系。（板书：a=b）探索性质1：

师：根据这幅图，你能写一个怎样的等式？ 生：2a=b。

课件出示：天平的左边增加1个100g的物体，天平失去平衡。师：天平现在还是平衡的吗？ 生：不是。

师：现在你能找到等量关系吗？ 生：不能找到。

师：怎样才能让天平重新平衡呢？你能想出哪些方法？ 小组讨论，请学生说一说想法。

生1：可以在天平的右边也放100g的东西，天平可能重新平衡。观察天平你能写出一个等式吗？（能，2a+100=b+100）师：你发现了等式两边有什么变化？ 生：都加100，仍是等式。

师：现在两边同时减100，天平平衡吗？ 生：发现天平仍然平衡。

师：你又能写出一个等式吗？（生：能，2a+100-100=b+100-100）师：观察三个等式你发现等式有什么性质？ 课件：出示等式性质1 探索性质2：

师：右边增加b后，天平平衡吗？ 生：不平衡（右边质量是原来的2倍。）师：怎样才能使天平平衡呢？

生：左边也放原来的2倍，天平就平衡。生：右边增加后的质量是原来的2倍。

师：变化前和变化后，天平都处于平衡状态，所以可以把这两组算式用等号连接起来。

教师板书：教师板书：2a×2=b×2 师：你能得到什么结论呢？

生：如果天平两边的质量同时扩大2倍，天平依然平衡。

师：如果同时扩大5倍、10倍、15倍呢？天平也平衡吗？猜一猜。生：肯定也平衡。

师：你们的猜测是正确的，只要两边同时扩大相同的倍数，天平仍然平衡。（课件出示）

师：刚才的实验是“两边同时扩大相同的倍数”，这让我想到了，假如两边同时缩小相同的倍数，天平也会平衡吗？

课件出示：两边同时缩小相同的倍数，天平也平衡。师：你发现等式又有什么性质呢？

生1：在等式的两边同时乘或同时除以一个相同的数，等式依然成立。师：在同时乘或除以一个数时，有没有需要注意的地方？ 生2：除以的这个数不能为0。

师：你提醒得很好。今天，我们通过大量的实验，得到了这个非常重要的结论，它将为我们后面“方程”的学习打好基础。指导学生勾出书上第78页的结论，齐读。师：这个结论就是“等式的性质”。（板书）

三、巩固应用

课件出示：等式性质简单应用

学生完成，抽学生说一说。课堂活动，根据时间情况安排。

四、课堂小结：你有什么收获或质疑？

1、等式意义

2、等式基本性质。

第6篇：幸福等式

幸福等式

幸福=n+1=生活。

幸福无处不在——有一个老太太，她的大儿子做了洗染店老板，小儿子做了雨伞店老板。老太太却天天为他们忧虑：雨天，担心洗染店衣服晾不干；晴天，生怕雨伞店雨伞卖不出„„

摘不到的星星，总是最闪亮的；得不到的东西，总是最宝贵的。其实，老太太是幸福的，雨天，小儿子生意兴隆；晴天，大儿子顾客盈门。这不就是一种令人满足、向往的生活吗？

我们总是羡慕别人的幸福生活，便忽视了自己身边的幸福——

学习=幸福

学习是幸福的，因为我们在汲取只是养分。或许有人觉得学习苦闷不堪，但人生就是一个不断学习的过程。我们就像是一个方程式，而学习就是未知数“x”。“学到老，活到老”，我们不知道“x”是多少，也不知道要多久才能解开它。可能是我们不懂解开它，可能是我们不想解开它。我们永远也离不开它，因为，学习给予我们养分，让我们浸泡在无限幸福之中。

助人=幸福

助人是幸福的，因为我们在奉献爱心。助人有时候会“吃亏”，甚至惹来不必要的麻烦。但是，“吃小亏，赚大便宜”。助人不仅仅是付出，更是一种收获。“赠人玫瑰，手有余香”。当我们付出的越多，内心就越幸福。

知足=幸福

知足是幸福的，因为你拥有的一切都是弥足珍贵的。永远不要羡慕别人的生活，即使那个人看起来快乐富足。幸福，如人饮水，冷暖自知。所谓“知足者常乐”，懂得满足自己的生活，也是一种幸福。

生活=学习+助人+„„=幸福

生活与幸福本就是一个等式，生活源于点点幸福，幸福源于种种生活。只要用心呼吸，身旁的空气也充满幸福的味道。

旗峰中学初二:梦之彗星

第7篇：等式性质4

教学内容：等式的性质（4）教学目标：

1.初步理解等式的性质，学会用等式的性质解ax±b=c这类形式的方程，能用方程表示简单情境中的等量关系。

2.通过分类、比较、转化等方法，学会解形如ax±b=c这类方程。3.在教学活动中，培养学生学会检验的良好学习习惯。教学重点：会解形如ax±b=c这类方程。教学难点：会解形如ax±b=c这类方程。教学用具：多媒体课件等

教学方法：操作法，讨论法，练习法 教学过程：

一、复习铺垫，温故引新。

1.观察信息，用方程表示下面的等量关系。

先找出等量关系，再列方程并解答。2.解方程

12x=96 x÷40=14

二、探索尝试，解释交流。1.回顾信息 解决问题

（1）介绍东北虎有关信息（信息窗1）（2）提出问题

学生读取有关东北虎的有关信息。

学生提出：2003年繁育基地有多少只东北虎？ 2.思考交流 探究方法

（1）方程形式类比，引导知识迁移

提问：观察这个方程的形式和前面学习过的方程有什么不同？你会计算吗？

自主探索解决问题的方法，找出等量关系，列出方程。

2003年的只数×3+100=2010年的只数

解：设2003年繁育基地有东北虎x只。

3x+100=1000（2）运用转化思想，尝试解决新知。

提问：能否用等式的性质解这种形式的方程？怎样算？（板书解方程书写格式）学生独立思考，尝试解方程。

在交流中明确，在解此类方程的过程中运用了两次等式的性质（3）检验方程结果，明确方程解法

X=300是方程的解吗？我们来检验一下方程。

把x=300代入原方程 板书检验格式

小结：解这种类型的方程，关键是要把 看作是一个数，根据等式的性质，先求出，再求出 得多少。3.补充练习

根据刚才学过的方法，求出下面方程的解。1.2x-1.4=8.2 提问：说说你是怎样解方程的？应该注意哪些问题？ 根据学生的回答，总结ax±b=c这类形式方程的解法。1.解方程

2+4x=3.6 8x+2=4.4 3x+1.5=6 2.5+10x=12.5 让学生说一说怎样解方程？ 提示学生注意检验

2.根据题目中的数量关系列出方程并求出方程的解。

（1）课本69页自主练习第8题，先找出数量关系，列方程解答。

（2）滇金丝猴体长约为80厘米，它的体长比间蜂猴的3倍多5厘米，间蜂猴的体长大约是多少厘米？

列方程解决问题。说说你是怎样想的? 课堂总结：说一说这节课你有哪些收获？ 板书设计：

等式的性质（4）

2003年的只数×3+100=2010年的只数

解：设2003年繁育基地有东北虎x只。

3x+100=1000 3x+100-100=1000-100 3x=900 3x÷3=900÷3 X=300 教后反思： 在本节课中，我引导学生用转化的思想探究两次运用等式的性质求出方程的解的这一类方程题，学生在尝试中，有的解出方程，但不敢肯定自己做的对还是不对，我又对他们说，有什么办法能证明自己做的对不对呢？让学生自己经济进行验算。经过验算之后，知道自己做对了，学生那个尝到了探