第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直_利用空间向量求二面角

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第四节 利用空间向量求二面角及证明面面垂直一、二面角

二面角l，若的一个法向量为m，的一个法向量为n，则cos,，二面角的大小为m,n或m,n

例1．如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，AA1A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成锐角的大小。

例2．（05年全国）如图，在四棱锥V-ABCD

VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．（1）证明AB⊥平面VAD；

（2）求面VAD与面VBD所成的二面角的大小．

练习：如图，棱长为1的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，求二面角BB

1ED的余弦值。

2二．证面面垂直

若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，且，则。

例3．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为23的菱形，ADC600，M是PB的中点。

（1）求证：PACD

（2）求二面角PABD的度数；（3）求证：平面PAB平面CDM。

练习：（04年辽宁）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，DAB60,PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB的中点，点F为 PD的中点。

（1）证明平面PED⊥平面PAB；

（2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值.作业：

1．（04年广东）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4,AD3,AA12,E,F分别是线段AB,BC上的点，且EBFB1。（Ⅰ）求二面角C-DE-C1的正切值；

（Ⅱ）求直线EC1与FD1所成角的余弦值。

32．（05年全国）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=

AB=1，M是PB的中点。2

（1）证明：面PAD⊥面PCD；（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

3．已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA＝2，M、N分别是AD、BC的中点，MQPD于Q

（1）求证：平面PMN平面PAD；

（2）求PM与平面PCD所成角的正弦值；（3）求二面角PMNQ的余弦值。

4．（06年全国）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．

（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（2）设AA1＝AC＝2AB，求二面角A1－AD－C1的大小．

C

B1 D

E

C

A

B

5．（04年浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互

相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

（1）求证：AM//平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。

6．（05年湖南）如图1，已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2.（1）证明：AC⊥BO1；

（2）求二面角O-AC-O1的大小。

7．（06年山东）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为 等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点 P在底面上的射影恰为点O，又BO=2,PO=,PB⊥PD.(1)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(2)求二面角P-AB-C的大小；(3)设点M在棱PC上，且PC⊥平面BMD.15

PM

,问为何值时，MC