证明三角形全等的常见题型_全等三角形证明题型

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证明三角形全等的常见题型

全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见题型，进行分析。

一、已知一边与其一邻角对应相等

1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。

例1 已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE。证明 ∵BE=CF（已知），∴BE+ EF=CF+EF，即 BF=CE。

在△ABF和△DCE中，∴ △ABF≌△DCE（SAS）。

∴ AF=DE（全等三角形对应边相等）。

2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。/ 6

例2 已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。

证明∵ FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。在△ADE和△CFE中，∴ △ADE≌△CFE（ASA）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）

3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。

例3（同例2）.证明 ∵ FC∥AB（已知），∴ ∠A=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴ △ADE≌△CFE（AAS）.∴ AE=CE（全等三角形对应边相等）。

二、已知两边对应相等

1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。

例4 已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证： △ABD≌△ACE.证明 ∵∠1=∠2（已知），∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB = ∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴ △ABD≌△ACE（SAS）

.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等。

例5 已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，求证： AM∥CN，BM∥DN。

证明 ∵ AC=BD（已知）∴ AC+BC+BC，即 AB=CD.在△ABM和△CDN中，BM=DN。

∴ △ABM≌△CDN（SSS）

∴ ∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），∴ AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。

三、已知两角对应相等

1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。

例6 已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证： AB=DE，AC=DF.证明 ∵ FB=CE（已知）

∴ FB+FC=CE+FC，即 BC=EF，∴ △ABC≌△DEF（ASA）.∴ △AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）

2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。

例7 已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.证明 ∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即 AE=BF，在△ACE和△BDF中，∴ △ACE≌△BDF（AAS）.四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等 例8 已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．

证：△ABD≌△ACE.证明∵AD=AE（已知）

∴∠1=∠2（等边对等角），∵ ∠ADB=∠180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴ ∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）.