构造函数证明不等式的八种方法[版]_证明不等式的八种方法

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构造函数证明不等式的八种方法

一、移项法构造函数

例：

1、已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，但有1

2、已知函数f(x)aex1ln(x1)x 1x12x（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围。

2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x

二、作差法构造函数证明

1例：

1、已知函数f(x)x2lnx，求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数

22g(x)x3的图象下方。

3思想：抓住常规基本函数，利用函数草图分析问题

2、已知函数f(x)nlnx的图象在点P(m,f(x))处的切线方程为y=x，设

n（1）求证：当x1时，g(x)0恒成立；（2）试讨论关于x的方g(x)mx2lnx，x

n程mxg(x)x32ex2tx根的个数。x3、换元法构造函数证明

例：

1、证明：对任意的正整数n，不等式ln(1)

2、证明：对任意的正整n，不等式ln(1)

3、已知函数f(x)ln(ax1)xxax，（1）若321n11，都成立。n2n31n113都成立。2nn2为yf(x)的极值点，求实数a

3的值；（2）若yf(x)在[1,)上增函数，求实数a的取值范围。（3）若a=-1时，方程f(1x)(1x)3b有实根，求实数b的取值范围。x4、从条件特征入手构造函数证明

例1 若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a,b满足'

ab，求证：af(a)bf(b)

5、主元法构造函数

例1.已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx，（1）求函数f(x)的最大值；（2）设0ab，证明：0g(a)g(b)2g（ab)(ba)ln226、构造二阶导数函数证明导数的单调性

例1：已知函数f(x)aex12（1）若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围； x，2（2）若a=1，求证：x0时，f(x)1x7、对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）

例1：证明当x0时，(1x)1

1xe1x8、构造形似函数

例1：证明当bae，证明ab2、已知m、n都是正整数，且1mn，证明：(1m)(1n)

思维挑战

1、设a0，f(x)x1lnx2alnx，求证：当x1时，恒有xlnx2alnx

12、已知定义在正实数数集上的函数f(x)

且b

3、已知函数f(x)ln(1x)

4、f(x)是定义在(0,)上的非负可导数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）

A.af(x)bf(a)B.bf(a)af(b)C.af(a)f(b)D.bf(b)f(a)

-'2nmba212x2ax，g(x)3a2lnxb，其中a0，252a3a2lna，求证：f(x)g(x)2xb，求证：对任意的正数a、b恒有lnalnb1 1xa