自然常数e的证明_自然常数e是多少

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当然，实际生活中，银行的利息没有这么高，如果利率只有5%，那么1块存一年最多可以拿到多少钱呢？lim(1n5%n

1000)? n在100%利率的情况下，当n=1000所得到的数值非常接近e：(1100%

1000)1000(10.1)e。

5%

50)50为了便于思考，取n=50,：(1

5%

50100%1000(10.1)150。因此，5%利率相当于e的20分之一1次方：(1)50[(1)1000]20e20

注意：20分之一正好等于利率5%，所以公式可以写成：

FVerate，式中rate就是利率。这说明只要是持续不断的复合式增长，e可以用于任何增长率的计算。

再考虑时间因素，如果把钱在银行里存t年，最多可以得到多少钱呢？

rtrtFV(e)e，此式为计算本利和的万能公式，可以适用于任何时间，任何利率。

进一步思考，如果银行利率是5%的复利，请问1元存款翻倍需要多少时间？

求解需要多少时间等价于解方程：1

e5%t

2t

ln25%



0.6935%



69.3

5

725，结果是13.86年。上式最后一个等号，表明用72除以利率，可以得到翻倍的大致时间，这就是经济学上著名的72法则。

e在自然科学中有着重要的地位和作用，比如在原子物理中放射性物质的衰变，生物增殖问题，地质科学中考察地球年龄，用齐奥尔科夫斯基公式计算火箭速度，物体的冷却等等

讲了这么多，e是一个特殊的重要极限，在高等数学及其应用领域中起着奠基般的举足轻重的作用。但如此重要的极限，在一般的教科书中对它的存在性的证明却叙述得较少，甚至不证明，只让去死记硬背一个十分难记难懂的结论。下面我尝试证明极限e的存在，并且确定它的值。

一、极限e存在性的证明

Lim(1为了证明极限

x

1x)

x

e

首先给出关于极限存在的两个基本准则。I 夹逼准则：如果函数(x)f(x)

Limf(x)A。

(x)且Lim(x)

A，Lim(x)A，那么

II 单调有界数列必有极限。

f(x)(1

(1

1x

1x)

x

这个函数既不是幂函数也不是指数函数，我们称之为幂指数函数。

只有当)0时这个函数才有定义，故只对x0与x

1来证明。

1、当x0时，首先让x取正整数，即x=n，n=1,2,3……若x0而(1x)0有伯努利不等式(1

x)

n

1nx，这个不等式可由二项式定理推出，并且对1x0时不等式仍

然成立，可由由数学归纳法证明。因此，对伯努利不等式将x换成(

(1

1n

1n)，便有)

n

1

1n

或者(1

1n)(1

n

1n)

n

(1

1n)

故对n1有 f(n)(1

1n)

(1n)

n

n1

n

11

1

n1

n1

f(n1)

说明f(n)是随n的增加而增加的，即f(n)是单调增加数列，另一方面由二项定理知

f(n)(11111

12!12!

1n)11n)

n

n11!n(11n!

1n

n(n1)12!)(1

2n12n



1n!

n(n1)3211

n!1n)(1

2n)(1

n

n

n

(113!

3!)1

2(112

n1

n1n)1



3111

112

12

3

n1

说明f(n)是单调增加有界数列，根据准则II，f(n)的极限存在，以e表示之，即

Lim(1

n

1n)e

n

（1a）

其次，对任意x0，必存在两个相邻的整数m与m+1，使得mxm1，因而

1mx1m)

1m1

从而

1x)

x

(1

m1

(11

(1

1m1)或者

1m1)

1

m

f(m)(1

m)f(x)f(m1)(1

1m)1，(1

1m1)

1

(1m并且f(m)e，f(m1)e，当x时，1

由准则I知

Limf(x)Lim(1

x

x

1x)

x

e（1b）

2、当x1时，xx

1x

x



x1

x

f(x)(1)

x

1

1

x1

x

1(1

1x1)f(x1)(1

1x1)，当

x时，x，(1

1x1)1，f(x1)e

所以Lim(1

x

1x)f(x1)(1

x

x

1x1)e（1c）

综合1a，1b，1c对于x0与x1，极限得到了证明。

二、极限e的确定与求法

由二项定理及极限1可得到e的表达式

eLim(1

n

1n)Lim(1

n

n

11!



12!



1n!)或者e11

12!



13!



由此可知e是个无理数，整数部分是2，小数部分是个无限不循环小数。数e的近似值可以通过f(x)e的泰勒展开式：

x

e1

x

x1!



x

2!



x

3!



x

n1

(n1)!

e

Qx

x

n

n!

其中1eexex，当x=1时有

e11

12!13!



1(n1)!

e

Q

n!

（1eQe3）

如取n=9，可得

e11

12!13!14!15!16!17!18!19!e

Q

110.50.1666670.0416670.0083330.0013890.0001980.0000250.000003e

Q

=2.718279

由此计算方法可见，若要求精度越高，则n取的越大，且计算每一项的精确度比要求的精度要高，当n