几何证明选讲(广东文数)_几个平均数的几何证明

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选修4-1 《几何证明选讲》复习讲义

一、广东高考考试大纲说明的具体要求：

（1）了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.（2）会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.（3）会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.二、基础知识梳理：

1.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；

相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

2.直角三角形的射影定理：

如图，Rt

2ABC中，A为直角，AD为斜边BC上的高，则22AD=___________,AB__________,AC__________

_A

_B

_C

3.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90的圆周角所对的弦是________。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。o

圆内接四边形的性质与判定定理

4.圆中的比例线段

三、常见题型

题型一.相似三角形的性质、直角三角形的射影定理等 例1.如图，在四边形ABCD中，EF//BC，FG//AD，则

变式练习.在ABC中，DE//BC，DE将

DE:BC__________

例2.如图，在ABC中，AD是BC边上中线，AE是BC边上的高，DABDB,AAB18,BE12,则CE__________.EFFG

． BCAD

ABC分成面积相等的两部分，那么

题型二.与圆角度相关问题

例1.如图，AB是直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，若CD切⊙O于C点，则∠CAB的度数

为，∠DCB的度数为，∠ECA的度数为___.变式练习.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延 长线上，BD=OB，CD与⊙O切于C，那么 ∠CAB==________.例2.如图：EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320，则∠A的度数是____

变式练习.如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆

O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为________

题型三.切割线定理

例1.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则AB=__。

变式练习.如图，AB是O的直径，D是O上一点，E为BD的中点，O的弦AD与BE的延长线相交于C，若

AB18BC,12则,AD__________

例2.已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2.AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B,PB=1, 则圆O的半径R=_______.变式练习.如图，圆O是ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CDABBC3.则BD的长__，AC的长_______．

题型四.相交弦定理

例1.如图所示，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为________．

变式练习.如图，半径为2的⊙O中，∠AOB＝90°，D为OB的中

点，AD的延长线交⊙O于点E，则线段DE的长为________．

四、课堂作业

1.如图，AB是⊙ O的直径，AC，BC是⊙ O的弦，PC是⊙ O的切线，切点为 C，∠BAC=350，那么∠ACP等于______

2.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于F，则

BF

.FC

3.如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD4,BD8，则圆O的半径等于

4.如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知ADAC6，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 ___ ．

D

《几何证明选讲》练习

1.在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AE:EB1:2，DE与AC交于点F，若AEF的面积为6cm，则ABC的面积为cm．

AE

2.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD,AB是圆O的直径,若PA=4, PC=5, CD=3, 则∠CBD=__。

3.如图5所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝____，线段AE的长为__.4.如图，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC4，PB8，则CD________._5.如图所示, 圆O上一点C在直径AB上的射影为D, CD4,BD8, 则圆O的半径等于

_

DA_

_O

6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，B

P

_B

MAB25，则D

7.如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE于D，若AD=1，ABC30，则圆O的面积是______。

8.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC∥EF，E是AB的中点，EF交BD于G，交AC于H。若AD=5，BC=7，则GH=________.9.如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A、B两点，割线PCD经过圆心O，PE是⊙O的切线。已知PA=6，AB=7 ⊙O的半径是_________.10.如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB.，PO=12，则PE=________，3a

11.如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CBAB,AB=AD=a,CD=2,点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= _____

12.如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD2a

＝OAP＝30°，则CP＝________.3

13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.14.如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB, 则AB=________。

15.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为_______。