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复变函数中的欧拉公式的证明
一、欧拉公式：
eiπ+1=0
eix=cosx+isinx
二、证明
a)将ex展开：
23ex=1+x+x
2!+x
3!x456784!+xxxx
5!+6!+7!+8!+···
b)将x用ix替换：
2345678
eix=1+ix··c)将cosx展开：
cosx=1-x2
2!+x4
4!x6
6!+x8
8!x10
10!+x12
12!··
d)将sinx展开：
x3x5x7x9x11
3!5!-7!+9!-11!+x13
sinx=x-13!+···e)上式等号两边同时乘i：
ix3ix5ix7ix9ix11
3!+5!-7!+9!-11!+ix13isinx=ix-13!··f)联立Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ三式得： eix=cosx+isinxⅥ g)同理可得：
e-ix=cosx-isinxⅦ h)对于Ⅵ，令x=π便可得： eiπ+1=0 i)Ⅵ、Ⅶ二式联立可得：
eix-e-ix
sinx=eix+e-ix
2icosx=2 Ⅰ Ⅲ Ⅴ Ⅱ Ⅳ
