导数与不等式证明(绝对精华)_导数解决不等式证明

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二轮专题

（十一）导数与不等式证明

【学习目标】

1.会利用导数证明不等式.2.掌握常用的证明方法.【知识回顾】 一级排查：应知应会

1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意x[a,b]都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)，只要利用导数说明h(x)在[a,b]上的最小值为0即可． 二级排查：知识积累

利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：

（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）多用分析法思考.（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（4）常用方法还有隔离函数法，f(x)ming(x)max，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式放缩得来.三极排查：易错易混

用导数证明数列时注意定义域.【课堂探究】

一、作差（商）法 例

1、证明下列不等式：

①exx1 ②lnxx

1③lnx1-

④lnx x2(x-1)2x,x(0,)(x1)⑤sinxx12

二、利用f(x)ming(x)max证明不等式 例

2、已知函数f(x)ax12eb(a1)lnx,(a,bR),g(x)x.xe2（1）若函数f(x)在x2处取得极小值0，求a,b的值；

（2）在（1）的条件下，求证：对任意的x1,x2[e,e2]，总有f(x1)g(x2).变式：证明：对一切x(0,)，都有lnx

三、构造辅助函数或利用主元法

12成立.exex例

3、已知m,n为正整数，且1mn,求证：(1m)n(1n)m.变式：设函数f(x)lnx，g(x)2x2（x1）.(1)试判断F(x)(x21)f(x)g(x)在定义域上的单调性；（2）当0ab时，求证f(b)f(a)

2a(ba).22ab

四、分析法证明不等式

例

4、设a1，函数f(x)(1x2)exa.若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：m3a

变式：已知函数f(x)x2lnx．（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）证明：对任意的t0，存在唯一的s，使tf(s)．

（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s关于t的函数为sg(t)，证明：当te时，有

221.e2lng(t)1.5lnt2

五、隔离函数

例

5、已知函数f(x)exln(xm).（Ⅰ）设x0是f(x)的极值点，求m并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m2时，证明:f(x)0.变式：已知函数f(x)nxxn,xR,其中nN，且n2.（1）讨论f(x)的单调性；

（2）设曲线yf(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为yg(x)，求证：对于任意的正实数x，都有f(x)g(x)；

（3）若关于x的方程f(x)a(a为实数)有两个正实数根x1,x2，求证：x2x1

a2.1n

六、与数列结合例

6、已知函数f(x)alnxax3(aR).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）求证：

变式：（1）已知x(0,)，求证：

1x11ln； x1xx1111111(nN，n2).（2）求证：lnn1234n23n1ln2ln3ln4lnn1..(nN，n2)234nn【巩固训练】 1.已知函数f(x)图像的下方.2.已知函数fxln1x． 1x122xlnx,求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图像在函数g(x)x3的23（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；

x31时，fx2x；（Ⅱ）求证：当x0，3x31恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）设实数k使得fxkx对x0，3

nx1nx2xx23.已知0x1x2，求证：1.22n

4.设函数f(x)ln(1x)x(x0).（1）判断f(x)的单调性；

（2）证明：(11n)ne(e为自然对数，nN*).5.已知函数f(x)exx.（1）求函数f(x)的最小值；

（2）设不等式f(x)ax的解集为P，且[0,2]P，求实数a的取值范围；

e123n（3）设nN，证明：.e1nnnnnnnn

6.已知f(x)ln(1x2)ax(a0).(1)讨论f(x)的单调性；

（2）证明：（1124）（1134）（11n4）e(e为自然对数，nN*，n2).7.已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值；

(2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(ab)(ba)ln2.2

f(x)aexlnxbex18.设函数x，曲线yf(x)在点（1，(Ⅰ)求a,b；（Ⅱ）证明：f(x)1.f(1)处的切线为ye(x1)2.9.已知函数fxexax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲线yfx在点A处的切线斜率为-1.（Ⅰ）求a的值及函数fx的极值；（Ⅱ）证明：当x0时，x2ex；

（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当xx0，，恒有x2cex.10.(选作)已知f(x)(1x)ex1.（1）证明：当x0时，f(x)0;（2）数列{xn}满足xnexn1exn1,x11,求证：{xn}递减，且xn1.2n 11