不等式的证明方法探究_基本不等式的证明方法

不等式的证明方法探究由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“基本不等式的证明方法”。

不等式的证明方法探究

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型较多，涉及的知识面多，证明方法灵活，本文通过一些实例，归纳总结了证明不等式时常用的方法和技巧。

1．比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，有“作差”与“作商”两种方法。其思路是把要比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

例1 求证：2x23x

证明：∵(2x23)x2x2x32(x)2 ∴ 2x23x

由例1可见用作差比较法证明不等式的步骤是：作差，变形，判断符号，给结论。

例2 已知：abc0，求证：aabbcc(abc)aabbccabc3abc31423230 88

a2abc3b2bac3c2cab3证明：∵(abc)aabac33bbabc33ccacb33a()bab3a()cac3b()cbc3

aa 又abc0则ab0,1，故()bba同理：()cab3ab31

b1,()cbc31

abc3a∴()bab3a()cac3b()cbc3＞1，则abc(abc)abc

由例2可见用作商比较法证明不等式的步骤是：作商，变形，判断与1的大小，给结论。

2．综合法

综合法是利用一些现成的结论（比如重要不等式），从已知条件入手，逐步得到要证的结论。即“由因寻果”的方法。

例3 已知：ab，且axb2bxa2，求证：xab 证明：∵ axb2bxa2

由不等式性质得：axbxa2b2

即：(ab)x(ab)(ab)①

由条件ab得ab0，给不等式①两边同乘以正数1，即可得到xab ab3．分析法

分析法是从要证明的结论入手，寻找成立的条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立。即“由果寻因”的方法。

例4 求证：6215

证明：因为62与15都是正数 要证明6215

只需证明(62)2(15)2成立 即只要证明：84315 即只要证明437 即只要证明4849

因为4849显然成立，所以6215成立 4．配方法

把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个性质证明某些式子大于或等于零。

例5 求证x26x110

证明：x26x11(x3)2220 则x26x110 5．基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用基本不等式及变形有：

①若a,bR，则 a2b22ab（当且仅当ab时取等号）②若a0,b0，则ab2ab（当且仅当ab时取等号）例6 已知：x0,y0，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3 证明：∵x0,y0

∴x20,y20,x30,y30

∴xy2xy0,x2y22xy0,x3y32x3y30

由不等式性质得：

(xy)(x2y2)(x3y3)2xy2xy2x3y38x3y3

即(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3 6．放缩法

放缩法是在证明不等式时，将不等式一边适当的放大或缩小来证明不等式。例7 已知：nN，求证：2n12n证明：∵2n12n 即2n12n7．数学归纳法

1n2n1n2nn1n

1n

与自然数n有关的不等式，通常用数学归纳法证明。

例8 求证：对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx 证明：①当n1时，不等式显然成立

②假设当nk时，不等式成立，即有(1x)k1kx

∵x1，则x10，上式两边同乘(x1)，得

(1x)k1(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x

这说明nk1时不等式仍成立

综上①，②知，对任何正整数n，不等式(1x)n1nx仍成立

8．构造法

通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明不等式，或者构造适当的图形使要证明的命题比较直观的反应出来。

例9 证明：7x2(9x2)9，并指出等号成立条件

证明：不等式左边可看成7与x和2与9x2两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示

将左边看成向量a(7,2)与b(x,9x2)的数量积

又abab，所以7x2(9x2)(7)2(2)2x2(9x2)9

当且仅当ba,(0)时等号成立，故由

x79x22

解得：x7,1，即x7时等号成立。例10 已知：a0,b0,c0

求证：a2abb2b2bcc2a2acc2

当且仅当时等号成立

证明：从根式的结构特点联想到余弦定理，于是可构造如

下图形

1b1a1c

使OAa,OBb,OCc,AOBBOC60o

则AOC120o,ABa2abb2 BCb2bcc2,ACa2acc2

由几何知识知ABBCAC

∴a2abb2b2bcc2a2acc2

当且仅当A,B,C三点共线时等号成立，则有

1122111 故当且仅当时等号成立

bac absin60obcsin60oacsin120o，即abbcac 129．换元法 通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式，应用换元法，可把字母多的化成字母少的，可把繁琐的不等式化成简单的不等式。常用的有三角换元和均值换元。

例11 已知：x0,y0,2xy1，求证：121x1322 y 证明：由x0,y0,2xy1，设xsin2,ycos2 则：1x1212(1cot2)1tan2 22ysincos = 3(2cot2tan2)322 例12 已知x,yR,且xy1。求证：(x2)2(y2)2证明：x,yR,且xy1

1211则(x2)2(y2)2(t2)2(t2)2

22552525 =(t)2(t)22t2

222225则(x2)2(y2)2

225 2则设： xt,yt(tR)

12原不等式得证。