直觉 证明数学探究性学习的一种有效方法_学习数学的有效方法

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“直觉+证明”数学探究性学习的一种有效方法

朱成杰数学工作室学员

赵

伟

人们认识事物是一个复杂的过程，需要经历若干阶段才能逐渐透过现象认识事物的本质，认识的最初阶段只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类现象提出一种推测性看法，这种推测性看法就是直觉。数学直觉就是依据某些已知的事实和数学知识，对未知量及其关系作出的一种似真判断。

直觉思维如同逻辑思维与形象思维一样，是人类的基本思维形式。同时直觉思维也是数学思维的重要内容之一，如欧氏几何的建立就充分体现了“依据直觉建立理论”的古希腊精神，把几何学公理看作是不证自明的事实，是古希腊哲学家、科学家共有的直觉观念。同样，人们正是基于直觉认为欧几里得的第五公设叙述冗长，并且在整个《几何原本》中仅使用一次，因此怀疑第五公设可以从其他命题逻辑地推导出来，但经过无数人的努力都以失败告终。意大利教士、教授萨凯里，凭借直觉考虑图-1中的四边形ABCD，∠A=∠B=900，且AD=BC，对于∠C和∠D的大小，从逻辑上考虑共有三种假设可选择：

(1)∠C和∠D是直角(直角假设)；(2)∠C和∠D是锐角(锐角假设)；(3)∠C和∠D是钝角(钝角假设)。

在直角假设下得到的就是欧氏几何。萨凯里在锐角的假设下曾经推导出一系列有价值的定理(不同于欧氏几何的一种全新的几何定理)，由于萨凯里不敢越“雷池一步”，他失去了发现新的几何的机会。年轻的俄国数学家罗巴切夫斯基则在锐角假设下大胆地提出了罗氏平行公理，从而创立了罗氏几何。德国数学家黎曼则从钝角假设出发建立了黎曼几何。可见，没有大胆的直觉行为就不会产生罗氏几何和黎曼几何。

同样，直觉思维在数学学习中起着重要的作用。儿童喜欢通过直觉提出问题，并运用已有的知识和判断对问题提出推测性的看法，教师只要及时引导学生进一步寻求严格的逻辑证明，就可以达到进行数学探究性学习之目的。可见，培养儿童的直觉思维能力也是数学教育的一项重要内容，以“直觉＋证明”的形式开展数学探究性学习，对全面提高学生数学思维品质和培养学生的创新精神是极其重要的。

一、直觉是开展数学探究活动的切入点

1、直觉思维符合学生的思维习惯

学生的思维想象丰富、自由度大，他们不受各种已有的条款、框框束缚，敢于向专家、权威人士、教科书提出质疑。具体表现在：一方面，学生对新事物有着强烈的好奇心，喜欢展开无边无际的想象；另一方面，由于学生的知识结构存在缺陷，只具备初步的逻辑思维能力，有时他们能模糊地感觉到数学问题的某种关系，但又说不清道不明。学生思维的这些特点正好与直觉思维的普遍性、模糊性相适应，数学教学就要抓住这个有利时机，对学生进行直觉思维能力的培养，并根据不同的学习材料有意识地诱发其直觉意识，训练其直觉思维的方法，使学生养成“直觉＋证明”的言必有理、言必有据的思维习惯。

2、直觉是开展数学探究活动的切入点

问题是数学的心脏，是数学探究活动的切入点，是数学不断向前发展的原动力。

当代认知心理学理论认为：学习是主体主动的意义建构，是主体在头脑里建立和发展认知结构的过程。直觉思维是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的新知识、新问题进行的预测性的重组、整合的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。如果数学探究活动中缺少了直觉，数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败，所以，直觉是开展数学探究活动的切入点。直觉是提出问题的原动力。

二、培养直觉思维就是培养儿童的创新精神

直觉思维和逻辑思维都能获得新知识，但逻辑思维只能在不超出前提知识的条件下得到一系列结论，他往往受到传统思维方式的左右，在遇到需要突破传统观念的课题时，就显得无能为力。而直觉思维具有反常规的独创性，具有突破传统思路的开拓性。直觉思维是一种合情推理。数学教学必须注重知识的发生过程，体现学生的主体性，让学生感受再创造的乐趣，教学中必须渗透“直觉＋证明”的发现问题和解决问题的科学思维。

问题一 直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，请设计一种方法，将所有的整点染色，每一整点染成白色、红色、黑色，使得：(1)每一种颜色的点出现在无穷多条平行于纵轴的直线上；

(2)对于任意的白点A、红点B、黑点C，总可以找到一个黑点D，使ABCD为一个平行四边形，证明你设计的方法符合上述要求。

课堂上气氛活跃，学生们纷纷议论，动手比划，认为染黑色的点应尽可能地分布广些，同时要使任意白、黑、红三点不共线，联系平行四边形具有中心对称的特点，学生从特殊位置入手，设计出了多种符合要求的方案：把在X轴正半轴上的整点(包括原点)染成红色，X轴负半轴上的整点染成白色，其余各点染成黑色。就能满足题意。

问题二 如图-2，BP=CQ，A为线段BC外一动点，且∠BAP=∠CAQ，问△ABC是什么三角形？试证明你的结论。

很多学生凭借直觉就能猜测△ABC是等腰三角形，AB=AC。

在大力培养创新精神的今天，培养学生的直觉思维就显得尤为重要，因为直觉思维可使得学生智力得到发展，尤其是观察力、想象力、创造性思维能力得到迅速提高。但要注意两种现象：(1)直觉不可能完全正确，有可能导致错误结论，因此，由直觉导出的结论要通过逻辑证明才能进一步肯定其正确性；(2)不能以直觉代替严格的逻辑证明。

例如在学习三角形面积公式S=absinC时，让学生探索如下问题(由著名的蝴蝶定理改编)，如图-3一个圆内有三条弦AB、CD、EF交于圆内一点O，DE与CF截AB于G、H，如果O平分AB，试问O点是否平分GH？并证明你的结论。

学生凭借直觉，纷纷猜测点O应是线段 GH的中点。老师进一步设问，能否肯定点O 就是中点，试对你的猜想加以证明？ 经过15分钟的分组讨论以后，奇迹发生 样推出结论：

设△FHO的面积为S1，△DGO的面积为S2，△CHO的面积为S3，△EGO的面积为S4。根据同一圆中同弧或等弧所对的圆周角相等，又可得出∠FCO=∠DEO(=)，∠CFO=∠EDO(=)，由对顶角相等有∠FOH=∠GOE(=)，∠DOG=∠COH(=)。于是，S11111FHFOsinOHOFsin，S2DODGsinDOOGsin，2222

了，一个小组的同学举手交流，借助面积公式和相交弦定理，可以这1111S3CHCOsinHOCOsin，S4EGEOsinOGOEsin，再2222利用恒等式：1SS2S3S41(对于同一三角形的面积位于分子与分S2S3S4S1母采用不同的表达式)FHFOsinDOGOsinCHCOsinGOOEsin=1

DGDOsinCOHOsinEGEOsinHOFOsinGO2FHCHGO2EGDG1。根据相交弦定理，又有： 22HOEGDGHOFHCHEGDGAGBG，FHCHAHBH；这样：

GO2EGDGAGBG(AOGO)(BOGO)AO2GO2，即 HO2FHCHAHBH(AOHO)(BOHO)AO2HO2GO2AO2GO2GO2AO2HO2AO2GOHO。证毕。

222HOAOHO

当学生凭借直觉观测到问题的某些结论时，要求学生证明其猜想能有效激发学生的求知欲，学生寻求问题的解的过程就是探究的过程，也是学生遇到困难需要展开交流、讨论、归纳总结的过程。