不等式的证明(一)（优秀）_不等式的证明一

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高三第一轮复习数学---不等式的证明(一)

一、教学目标：掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．对较复杂的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法加以证明。

特别注意: 在利用不等式的性质或基本不等式时要注意等号、不等号成立的条件。

二、教学重点：作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”；作商比较法的顺序是“作商---变形---判断商式与1的大小”（注意商式的分子分母均正）；综合法证明不等式是“由因导果”。

三、教学过程：

（一）主要知识：

1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：

①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0。b说明：①作差比较法证明不等式时，通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断；②一般地运用比商法时要考虑正负，尤其是作为除式式子的值必须确定符号；③证幂指数或乘积不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。

2.综合法：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式的方法。证明时要注意字母是否为正和等号成立的条件。

a2b2ab2ab基本不等式：(1)若a0,b0,则 当且仅当a=b时取

1122ab等号。

(2)a,bR,(3)a,b同号,a2b22abab2ba当且仅当ab时取等号

当且仅当ab时取等号

3.分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

（二）例题分析：

例

1、已知a,b∈R,求证: a2+b2+1>ab+a 证明：p= a2+b2+1-ab-a=[(a2abb)(a2a1)b1]=[(ab)(a1)b1] 显然p>0

∴得证

[思维点拔] 作差比较法的顺序是“作差---变形---判断差式的正负”.通常是进行因式分解，利用各因式的符号进行判断，或进行配方，利用非负数的性质进行判断 12222212222a22b22例

2、设a0,b0,求证()()a2b2.ba1111【分析】不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明。【证法一】左边-右边=(a)3(b)3ab(ab)

=(ab)(aabb)ab(ab)ab(ab)(a2abb)ab =

=

(ab)(ab)2ab0 ∴原不等式成立。

【证法二】左边>0，右边>0。左边(ab)(aabb)(aabb)2abab 1∴原不等式成立。右边ab(ab)abab[思维点拔] 用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。

anbncn例

3、已知a,b,c为正数n,是正整数,且f(n)=lg,求证2f(n)≤f(2n)

3证2f(n)=

2：anbncnanbncn2a2nb2nc2n2anbn2bncn2ancnlglg()lg

339f(2n)= nnlg2na2nb2nc2n3,由基本不等式知,2abab2n,2cnbnc2nb2n,2ancna2nc2n

三式相加得

[思维点拔] 利用某些已经证明过的不等式作为基础,分析求证式子间的特点证明 例

4、设x>0,y>0且x≠y,求证xy3133x1332y2122

证明：由x>0,y>0且x≠y,要证明xy只需x3y33xy122

x222y

2即2x3y33x2y2x2y2

3只需2xyxy

由条件,显然成立.∴原不等式成立

[思维点拔] 分析法证明不等式是“执果索因”, 要注意书写的格式 练习:.若a、b、c是不全相等的正数，2求证：lgabcbaclglglgalgblgc 222abcbab0，cb0，【分析】根据本题的条件和要证明的结论，既可用分析法由可用综合法。【证法一】（综合法）：a,b,cR，22ac2ac0

又∵a、b、c是不全相等的正数，∴有

ab2cb2ac2abc。∴lg(ab2cb2ac2)lgabc 即lgabcbac2lg2lg2lgalgblgc【证法二】（分析法）要证lgab2lgcb2lgac2lgalgblgc 即证lg(ab2cbacabcbac22)lgabc成立。只需证222abc成立。∵abcb2ab0，2cb0，ac2ac0。ab2cb2ac2abc0（*）又∵a、b、c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立。∴原不等式成立。

例

5、已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n

(I)证明niAim＜miAin；

门)证明(1+m)n>(1+n)m．

(I)证明:对于1im,有Aimm(mi1),Aimmm1mimmmi1m,同理pinnn1ni1ninnn,4分由于mn,对整数k1,2,,i1,有nknmkm,所以AiinAmiinimi,即miAnniAm6分 ∴(II)证明:由二项式定理有i(1m)miCn,ni0mi(1n)niCm,mi0n8分ii由(I)知miAnniAm(1imn),iiAmAni而C,Cn10分i!i!ii所以miCnniCm(1imn).imi因此mCniCm.iini2i20011i又m0Cnn0Cm,mCnnCmmn,miCn0(min).imCniCm.iini0i0mmmm即(1m)n(1n)m.（三）巩固练习：

12分

1．四个不相等的正数a,b,c,d成等差数列，则 A．adbc 2

adbc

2（）

adbc 2B．

adbc 2C．D．2．综合法证明不等式中所说的“由因导果”是指寻求使不等式成立的 A．必要条件

B．充分条件

C．充要条件

（）

D．必要或充分条件

ab2abab3．在a0，b0的条件下，①，②2ab2b2a2a2b2ab，③ab2其中正确的个数是

（）

A．0

B．1 C．2 D．3 4．下列函数中最小值是2的是

（）A．yx1

C．2x22

B．ysincsc, D．yx0,yxx2x21

（）5．设mn,xm4m3n,yn3mn4，则x，y的大小是

A．x>y

B．x=y

C．x

（）6．已知a、b、m是正实数，则不等式A．当a

B．当a> b时成立 C．是否成立与m有关D．一定成立

（）17．函数yx(x0)有

xA．最大值是2 B．最小值是2 C．最大值是－2 D．最小值是2 8．如果a、b为不相等的非零实数，那么ab的值是

（）

baC．小于等于2

D．大于2或小于2

ab9．在ABC中，a,b,c分别是C,B,C所对应的边，则的取值范围是（）C90，cA．（1,2）

B．(1,2)

C．(1,2]

D．[1,2] A．大于2

10．设x0,y0,且x2y24,xy4(xy)10,则的最值情况是 A．有最大值2，最小值2(22)B．有最大值2，最小值0 C．有最大值10，最小值2(22)2

D．最值不存在（）B．小于2或大于2 参考答案

ABCDA ACBCA

四、小结：

不等式的比较法、综合法、分析法合称三种基本方法，是最常用的方法 比较法：①比差法：要证a>b，只须证a-b>0。

②比商法：要证a>b且b>0，只须证

a0 b综合法：证明时要注意字母取值范围和等号成立的条件 分析法：要注意书写的格式, 综合法是分析法的逆过程

五、作业：