CauchySchwarz不等式的证明和应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“浅谈不等式的证明方法”。
Cauchy-Schwarz不等式的证明和应用
摘要:Cauchy-Schwarz不等式有多种证明方法而且应用广泛.本文归纳了几种Cauchy-Schwarz不等式的典型证明方法,并探讨了Cauchy-Schwarz不等式的应用.关键词:Cauchy-Schwarz不等式;向量空间;内积
一、Cauchy-Schwarz不等式的几种证明方法
1.第一种证明方法
定理1对任意的向量α,β有|(α,β)|≤|α||β|.当且仅当α,β线性相关时,等号才成立.证明当β=0时,不等式成立.设β≠0.令t是一个实变数,作向量γ=α+tβ.不论t取何值,一定有
(γ,γ)=(α+tβ,α+tβ)≥0.即
(α,α)+2(α,β)t+(β,β)t2≥0(1)
取
t=.代入(1)式,得
(α,α)-≥0,即
(α,β)2≤(α,α)(β,β).两边开方便得
|(α,β)|≤|α||β|.当α,β线性相关时,等号显然成立.反过来,如果等号成立,由以上证明过程可以看出,或者β=0,或者
α-β=0，也就是说α,β线性相关.2.第二种证明方法
引理:设V是欧氏空间,ξ,η是V的单位向量,那么,|(ξ,η)|≤1.证明ξ,η既是单位向量,则有(ξ,ξ)=1,(η,η)=1,而|ξ,η|2≥0,即
|ξ,η|2=(ξ-η,ξ-η)
=(ξ,ξ)+(η,η)-2(ξ,η)
=2-2(ξ,η)≥0
所以,(ξ,η)≤1;
又|ξ,η|2≥0,即
|ξ,η|2=(ξ+η,ξ+η)
=(ξ,ξ)+(η,η)+2(ξ,η)
=2-2(ξ,η)≥0
所以,(ξ,η)≥-1.总之,|ξ,η|≤1.定理2设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明10若α,β中有一个是零向量,则结论显然成立;
20设α,β都不为零,今将α,β单位化,令ξ=,η=,则由引理.知|(ξ,η)| ≤1,而(α,β)=(|α|ξ,|β|η)=|α||β|(ξ,η)所以,|(α,β)|≤|α||β|(ξ,η)≤1.再设ξ与η的夹角为θ,则θ的余弦为cosθ==(ξ,η)由此可知,|(α,β)| ≤|α||β|(ξ,η)=1cosθ=±1≤1ξ=±η,此即知α与β线性相关.3.第三种证明方法
定理3设α,β是欧氏空间V中的任意两个向量,那么,|(α,β)|≤|α||β|,等号成立当且仅当α,β线性相关.证明x1,x2∈R取,则(x1α+x2 β,x1α+ x2 β)≥0,即
(α,α)x12+2(α,β)x1x2+(β,β)x22≥0，而此式左端恰为关于x1,x2的半正定二次型,故其矩阵的行列式≥0,即
(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)≥0
则得|(α,β)|≤|α|| β|,且等号成立
(α,α)(α,β)(α,β)(β,β)=0α,β线性相关.二、Cauchy-Schwarz不等式的应用
Cauchy-Schwarz不等式在不同的空间对应着不同的形式,下面是它在不同空间上的几种变形.母不等式:设V是欧氏空间,若ξ,η∈V,则
(ξ,η)2≤(ξ,ξ)(η,η)(2)
上式等号成立的充要条件是ξ,η线性相关.变形一:取V=Rn,令ξ=(a1,a2,…,an),η=(b1,b2,…,bn)则有
(a1b1+…+anbn)≤(a12+a22+…+an2)(b12+b12+…+bn2)(3)
等号成立的充要条件 bi=cai(i=1,2,…n),c是为常数.变形二:取V是定义在[a,b]上一切连续实函数所构成的实线性空间,设f(x), g(x)∈V,则有
[f(x)g(x)dx]2≤f 2(x)dxg2(x)dx(4)
变形三:取 V 为概率空间,对任意属于V 的随机变量 ξ与 η都有
|Eξη|2 ≤Eξ2Eη2(5)
等号成立的充要条件是P(η=t0 ξ)=1,t0是某一常数.例1若x1,x2,…,xn均为正数则有(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2(6)
证明由(2)式令a1=,a2=,…,an=.b1=,b2=,…,bn=,则有
(•+•+…+•)2=n2.而
(++…+)(++…+)
=(x1+x2+…+xn)(++…+)
所以(x1+x2+…+xn)(++…+)≥n2.显然等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.例2已知a、b、c、x、y、z都是实数,并且a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=1
求证:|ax+by+cz|≤1.证明由不等式(3)有
(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
所以,|ax+by+cz|2≤1,即|ax+by+cz|≤1.例3当2x+4y=1时,求证
x2+y2≥.证明由不等式(3)有
(2x+4y)2≤(22+42)(x2+y2),所以1≤20(x2+y2)
所以(x2+y2)≥
例4已知a、b、c为正数,求证
a2+b2+c2≥ab+bc+ca.证明由不等式(3)有
(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)(b2+c2+a2),即(ab+bc+ca)2≤(a2+b2+c2)2.因为a、b、c为正数,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca.例5设ai≥0,i=1,2,…,n,则ai≤(ai2),且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.证明设二维离散型随机变量ξ,η的联合概率分布为
P(ξ=xi,η=yi)=P(ξ=xj,η=yj)=0(i≠j)
i=1,2,…,n;j=1,2,…,n
则ξ、η的边际概率分布分别为
Pξ(ξ=xi)=,Pη(η=yj)=
令xi=ai≥0,yj=1有
Eξη=ai•=•ai
Eξ2=ai2•=•ai2
Eη2=yi•=1=1
由不等式(5)有(ai)2≤ai2且等号成立的充要条件是==…=
开方得ai≤(ai2)且等号成立的充要条件是a1=a2=…=an.例6设a、x、y是同时大于1(或小于1)的正数,且logaxyj=9,求证:
logxa+logya+logja≥1.证明左边=++.由不等式(6)有
(loga.x+loga y+loga j)(++)≥j2
即logaxyj•(++)≥9.有已知logaxyj≥9
所以(++)≥1
即logxa+logya+logja≥1
例7设a>0,b>0,且a+b=1,求证
(a+)2+(b+)2≥.证明由不等式(7)有
≥
所以≥
所以(a+)2+(b+)2≥.又因为(a-b)2≥0,所以a2+b2-2ab≥0.所以(a+b)2-4ab≥0.所以1-4ab≥0.所以ab≤.所以(a+)2+(b+)2≥=
例8设α,β是欧氏空间V中的向量,则有|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|.证明由Cauchy-Schwarz不等式得
-|α||β|≤(α,β)≤|α||β|，|α|2+|β|2-2|α||β|≤|α|2+|β|2+2|(α,β)|≤
|α|2+|β|2+2|α||β|，则(|α|-|β|)2≤(α±β,α±β)≤(|α|+|β|)2,即得
|α|-|β|≤|α±β|≤|α|+|β|
例9设有n阶实对称矩阵A,若A≥0,则有trA≥0和(trA)E≥A.证明因为A≥0,所以A半正定,故存在n阶矩阵
Q=q11…q1n………qn1…qnn=a1…an
其中a1=(qi1,…,qin)是第i个行向量(i=1,2,…,n),使得A=Q'Q
于是trA=tr(Q'Q)=||Q||F2≥0.又n维列向量X=(x1,…,xn)∈Rn,有X'AX=X'Q'QX=(QX)'(QX)=||QX||22
于是QX=q11x1+…+q1nxn ………qn1x1+…+qnn xn=(a1,X)…(an,X)
由Cauchy-Schwarz不等式知,|(ai,X)|≤||ai||2||X||2
所以||QX||22=|(ai,X)|≤(||ai||22)
||X||22=||QX||F2||X||22
即||QX||22≤||QX||F2||X||22=(trA)||X||22=(trA)X'X
从而X'AX≤(trA)X'X=X'(trA)EX
故有(trA)E≥A.Cauchy-Schwarz不等式应用非常广泛,利用Cauchy-Schwarz不等式可以解决一些复杂不等式的证明.(作者单位:湖南女子职业大学)
