如何用配方法证明等式_基本不等式的证明方法

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如何用配方法证明等式

配方法是中学数学中的一个最基本的数学方法,通过它对代数式的恒等变形,使许多复杂的问题得以简单化.现在我们就用配方法来证明恒等式和条件等式.一.通过配方直接证明等式成立

例1 求证

(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)222222222

2证明左边=(a2x2a2y2a2z2b2x2b2y2b2z2c2x2c2y2

cz)(axbycz2axby2axcz2bycz)22222222

bx2axbyaycx2axczazcy2byczbz

(bxay)(cxaz)(cybz)***

所以左边=右边

即:(abc)(xyz)(axbycz)

(bxay)(cxaz)(cybz)2222222222

例2 已知(ca)24(ab)(bc)0，求证a、b、c成等差数列（即证明 a2bc0）

证明c22aca24ab4ac4b24bc0

c4ba4ab4bc2ac0

(a2bc)0222

2a2bc0

bac

2所以a、b、c成等差数列

二.通过配方,把已知的等式化为几个实数的平方和等于零的形式，就是说化为a2+b2+c2=0则

a=b=c=0从而从而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零实数，且abcxyzaxbycz，求证x

ay

bz

c22222

2222222证明由已知条件可以得到：abcxyz2ax2by2cz0

即：(xa)(yb)(zc)0222

xa0xa

yb0yb

zc0zc

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xaybzc 已知a、b、m、n都是正数，并且a4b4m4n44abmn0

求证abmn

证明将已知等式的左边进行配方可得：

a2abbm2mnn2ab2mn4abmn0422442242222

(a2b2)2(m2n2)22(abmn)20

a2b20

22mn0

abmn0

ab

abmn a,b,m,n都是正数mn

22bn0

综上所述，我们在解题过程中一方面要充分认识完全平方公式的特点(ab)a2abb，然后逆用公式进行证明如例1和例2。另一方面也要利用它的非负222

性的性质：(ab)20当且仅当a=b时等号成立。通过添加适当的项构造出完全平方式进行等式的证明如例3和例4。