数形结合思想在等差数列证明中的应用_等差数列数形结合

数形结合思想在等差数列证明中的应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“等差数列数形结合”。

数形结合思想在等差数列证明中的应用

教学目标：

1．知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式。

2．过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3．情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法: 讲授法、发现法

教学过程：

一、问题呈现:

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝

沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶

饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石

镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

二、探究发现:

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

问题2：如何求1到n的正整数之和.公式应用：123n

问题3：你能证明这个公式吗？

三、公式推导:

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性

n(n1)

2质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

1． 证明123nn(n1)（讲授）2

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

2． 小组活动：仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数，你能找出几种方法（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

简解：（1）

因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以

2组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n个．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝

（2）

n（n1）n（n1），即1＋2＋3＋4＋…＋n＝． 22n〔（2n—1）1〕2＝n ． 2

因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n 个．

2∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n ．

3． 小组探究：利用数形结合的方法证明等差数列的求和公式Sn

四、知识回顾、小结:

1.推导等差数列前项和公式的思路；2.数形结合的思想.2n(a1an)（梯形法）2