不等式的证明技巧_不等式的证明方法

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不等式的证明策略不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，历来是高中数学中的一个难点，本难点着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.●难点磁场

[例1]．已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求证：(a+

1125)(b+)≥.ba

4［例2］求使xy≤axy(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值.知识依托：该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有

关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值.解法一：由于a的值为正数，将已知不等式两边平方，得：x+y+2xy≤a2(x+y)，即2xy≤(a2－1)(x+y)，∴x，y＞0，∴x+y≥2xy，①②

当且仅当x=y时，②中有等号成立.比较①、②得a的最小值满足a2－1=1，∴a2=2，a=2(因a＞0)，∴a的最小值是2.解法二：设u

xy

(xy)2

xyxy

xy2xy2xy

.1

xyxy

∵x＞0，y＞0，∴x+y≥2xy(当x=y时“=”成立)，∴

2xy2xy

≤1，的最大值是1.xyxy

从而可知，u的最大值为12，又由已知，得a≥u，∴a的最小值为2.解法三：∵y＞0，∴原不等式可化为

x

+1≤ayx

1，y

设

x=tanθ，θ∈(0，).y

2∴tanθ+1≤atan21；即tanθ+1≤asecθ∴a≥sinθ+cosθ=2sin(θ+



4)，③

又∵sin(θ+

4)的最大值为1(此时θ=4).由③式可知a的最小值为2.●锦囊妙计

1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述；如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法、增量代换法，‘1’代换法等，换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.●歼灭难点训练

一、填空题

ab1.已知x、y是正变数，a、b是正常数，且=1，x+y的最小值为__________.xy2.设正数a、b、c、d满足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，则ad与bc的大小关系是__________.3.)若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，则m、n、p、q的大小顺序是__________.二、解答题

4.已知a，b，c为正实数，a+b+c=1.求证：(1)a2+b2+c2≥1

3(2)3a2b2c2

12，证明：x，y，z∈［0，］23

bc2ca2ab26.若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，证明：z≥2(xy+yz+zx)xyabc5.已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=

7.若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1.8.设a,b,cR,求证:

9.证明下列不等式：

（1x≥4)；

（2）证明：abcd 111≥111。2a2b2cbccaab

10.已知a、b、c（0，1），求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a，不能均大于4。（反证法）

52211.a，bR，且a＋b = 1，求证：(a＋2)＋(b＋2)≥2；（增量代换法）

12.（‘1’代换法）1 1 b  c  1,   9.已知 a , b , c  R  , 且 aa b c

xxxx13.已知 1a2，x≥1，f(x)aa，g(x)22； 2

2(1)比较f(x)与g(x)的大小；

(2)设nN，n≥1，求证：f(1)f(2)f(2n)4n

xxxx(ax2x)(2xax1)aa22解：(1)f(x)g(x) 222x1ax1。2ax2x,2xax10，且2xax0，f(x)g(x)0，即f(x)g(x)。

(2)由（1）f(1)f(2)f(3)f(2n)g(1)g(2)g(3)g(2n)

1(22222n)1(1

121)222222n)4n1

=4n1(11222

1f(1)f(2)f(2n)4nn，得证。2

不等式练习题

一、选择题

1、若a,b是任意实数,且a＞b,则()

（A）a2＞b2（B）b11＜1（C）lg(a-b)＞0（D）()a＜()b

a222、下列不等式中成立的是()

1+a≥2(a0)a

t111（C）＜(a＞b)（D）a≥a(t＞0,a＞0,a1)ab（A）lgx+logx10≥2(x＞1)（B）

3、已给下列不等式(1)x3+ 3 >2x(x∈R);(2)a5+b5> a3b2+a2b3(a ,b∈R);

(3)a2+b2≥2(a－b－1), 其中正确的个数为()

(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个

4、设x2+y2 = 1, 则x +y()

(A)有最小值1(B)有最小值

2(C)有最小值－1(D)有最小值－25、不等式|x＋5|＞3的解集是()

(A){x|－8＜x＜8}(B){x|－2＜x＜2}

(C){x|x＜－2或x＞2(D){x|x＜－8或x＞－

26、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是()

(A)ac＞bc(B)|a＋c|＞|b＋c|(C)a2＞b2(D)a＋c＞b＋c

x31x22x

327、设集合M={x|≤0},N={x|x+2x-3≤0},P={x|()≥1},则有()x1

2（A）MN=P（B）MNP（C）M=PN（D）M=N=P8、设a,b∈R,且a+b=3,则2a+2b的最小值是()

（A）6（B）42（C）22（D）269、若关于x的不等式ax2＋bx－2＞0的解集是,,，则ab等于()

(A)－24(B)24(C)14(D)－1410、如果关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a 的取值范围是()

(A)(,2](B)(,2)(C)(2,2](D)(－2,2)

二、填空题 1123

b24、a≥0,b≥0,a＋=1,则ab2的最大值是________.226、x＞1时，f(x)=x＋116x2的最小值是________，此时x=________.xx

17、不等式log4(8x－2x)≤x的解集是________.8、不等式11的解集是________.xx412

3练习答案

一、DAC DDDAB BC

二、1、15322、8,2＋

33、(0,log2)

4、0 24