高考真题理科数学解析分类14推理与证明_高考理科数学分类解析

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陕西省永寿县中学杨宏军整理hongjunyang@qq.com

2012年高考真题理科数学解析分类汇编14推理与证明

1.【2012高考江西理6】观察下列各式：ab1,a2b23,a3b34,a4b47, a5b511,则ab 1010

A．28B．76C．123D．199

【答案】C

【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。

【解析】等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加后面的项，即anan1an2，所以可推出a10123，选C.2.【2012高考全国卷理12】正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7.动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，3反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

【答案】B

【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用。通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图像分析反射的次数即可。

【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是

平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可.3.【2012高考湖北理10】我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d

根据π =3.14159

.人们还用过一些类似的近似公式.判断，下列近似公式中最精确的一个是

B

．dC

．dD

．d11.d【答案】D

考点分析：考察球的体积公式以及估算.【解析】

4d3a6b69由V()，得d设选项中常数为,则=；A中代入得==3.375，32ba16

616157611B中代入得==3，C中代入得==3.14,D中代入得==3.142857，2300

21由于D中值最接近的真实值，故选择D。

4.【2012高考陕西理11】 观察下列不等式

13 222

115123，2331

———— 1

1

1117 223242

4„„

照此规律，第五个不等式为.．．．

1111111

2222.2

234566

1111111

【解析】通过观察易知第五个不等式为122222.234566

【答案】1

5.【2012高考湖南理16】设N=2（n∈N，n≥2），将N个数x1,x2,„，xN依次放入编号为

1,2，„，N的N个位置，得到排列P0=x1x2„xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取

n

*

NN和后个位置，得到排列P1=x1x3„xN-1x2x4„xN，将此22

N

操作称为C变换，将P1分成两段，每段个数，并对每段作C变换，得到p2；当2≤i≤

Ni

n-2时，将Pi分成2段，每段i个数，并对每段C变换，得到Pi+1，例如，当N=8时，出，并按原顺序依次放入对应的前

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此时x7位于P2中的第4个位置.（1）当N=16时，x7位于P2中的第___个位置；

n

（2）当N=2（n≥8）时，x173位于P4中的第___个位置.【答案】（1）6；（2）32【解析】（1）当N=16时,n4

11

P0x1x2x3x4x5x6P1x1x3x5x7

x16,可设为(1,2,3,4,5,6,x16,即为(1,3,5,7,9，16), 2,4,6,8，16)，16), x7位于P2中的第6

x15x2x4x6

P2x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6

个位置,；

x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,（2）方法同（1）,归纳推理知x173位于P4中的第32

n4

11个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.6.【2012高考湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，„，99．3位回文数有90个：101，111，121，„，191，202，„，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；

（Ⅱ）2n1(nN)位回文数有 【答案】90，910

考点分析：本题考查排列、组合的应用.【解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090种。答案：90

————

n

（Ⅱ）法

一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为910.法

二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,„„99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导这十个数，因此,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9,则答案为910.n

n

7.【2012高考北京理20】（本小题共13分）

设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记Sm,n为所有这样的数表组成的集合.对于ASm,n，记ri(A)为A的第i行各数之和（1剟i

m），cj(A)为A的第j列各数之和（1剟j

；记k(A)为n）

r1(A)，r2(A)，„，rm(A)，c1(A)，c2(A)，„，cn(A)中的最小值.（1）对如下数表A，求k(A)的值；

（2）设数表AS2,3形如

求k(A)的最大值；

（3）给定正整数t，对于所有的AS2,2t1，求k(A)的最大值.【答案】解：（1）由题意可知r1A1.2，r2A1.2，c1A1.1，c2A0.7，c3A1.8

∴kA0.7

（2）先用反证法证明kA≤1：

若kA1

则|c1A||a1|a11，∴a0 同理可知b0，∴ab0 由题目所有数和为0 即abc1 ∴c1ab1 与题目条件矛盾

———— 3

∴kA≤1．

易知当ab0时，kA1存在 ∴kA的最大值为1（3）kA的最大值为

2t1

.t22t1

首先构造满足k(A)的A{ai,j}(i1,2,j1,2,...,2t1)：

t2

t1

a1,1a1,2...a1,t1,a1,t1a1,t2...a1,2t1，t2

a2,1a2,2

t2t1

...a2,t,a2,t1a2,t2...a2,2t11.t(t2)

经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且

|r1(A)||r2(A)|

2t1，t2

t2t1t12t1，|c1(A)||c2(A)|...|ct(A)|11

t(t2)t2t2

|ct1(A)||ct2(A)|...|c2t1(A)|1

下面证明

t12t1

.t2t2

2t1

是最大值.若不然，则存在一个数表AS(2,2t1)，使得t22t1

k(A)x.t2

由k(A)的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x,2]中.由于

x1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x1.设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设gh，则

gt,ht1.另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x1（即每个负数均不超过1x）.因此

|r1(A)|r1(A)t1(t1)(1x)2t1(t1)xx2t1(t2)xx，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾.因此kA的最大值为

2t1

。t2

————

8.【2012高考湖北理】（本小题满分14分）

（Ⅰ）已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；

（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：

设a10,a20，b1,b2为正有理数.若b1b21，则a1b1a2b2a1b1a2b2；（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.．．．．．注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.【答案】（Ⅰ）f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当 x1 时，f(x)0，所以f(x)在(1,)内是增函数.故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x(0,)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)①

若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2a1b1a2b2成立； 若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是 在①中令x

a1aa，rb1，可得(1)b1b11(1b1)，a2a2a2

即a1b1a21b1a1b1a2(1b1)，亦即a1b1a2b2a1b1a2b2.综上，对a10,a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有a1b1a2b2a1b1a2b2.②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：

设a1,a2,若b1b2,an为非负实数，b1,b2,b1b2bn1，则a1a2,bn为正有理数.bn

ana1b1a2b2

anbn.③

用数学归纳法证明如下：

（1）当n1时，b11，有a1a1，③成立.（2）假设当nk时，③成立，即若a1,a2,且b1b2

b1b2

bk1，则a1a2,ak为非负实数，b1,b2，bk为正有理数，bk

aka1b1a2b2

akbk.,bk,bk1为正有理数，当nk1时，已知a1,a2,且b1b2aa

b1

b22,ak,ak1为非负实数，b1,b2,bkbk11，此时0bk11，即1bk10，于是

bk1k1

aa

bkk

(aa

b11b22

a)a

bkkbk1k1

=(a

b11bk11

a

b21bk12

a

bk

1bk11bk1k)

bk1ak1.———— 5

因

b1b2



1bk11bk1



bk

1，由归纳假设可得

1bk1

b1b2

a2

1bk11bk1

ak

aba2b2akbkbk

11，1bk11bk1

a

b1

1bk11

a

b21bk12

a

bk1bk1k

a1

b1b2

从而a1a2bkbk1

akak1

aba2b2akbk

11

1bk1

1bk1

bk1

ak1.又因(1bk1)bk11，由②得

a1b1a2b2akbk



1bk1

1bk1

bk1

ak1

a1b1a2b2akbk

(1bk1)ak1bk1

1bk1

a1b1a2b2

b2

从而a1b1a2

bkbk1akak1a1b1a2b2

akbkak1bk1，akbkak1bk1.故当nk1时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n，所推广的命题成立.说明：（Ⅲ）中如果推广形式中指出③式对n2成立，则后续证明中不需讨论n1的情况.9.【2012高考福建理17】（本小题满分13分）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1）sin13°+cos17°-sin13°cos17°（2）sin15°+cos15°-sin15°cos15°（3）sin18°+cos12°-sin18°cos12°

（4）sin（-18°）+cos48°-sin（-18°）cos48°（5）sin（-25°）+cos55°-sin（-25°）cos55° Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数

Ⅱ 根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.103sin30 24

2200

（II）三角恒等式为：sincos(30)sincos(30)



解答：（I）选择（2）：sin15cos15sin15cos151

sin2cos2(300)sincos(30)

sin11

sin)2sinsin)22

333sin2cos2444

———— 6