几何证明习题课（版）_几何证明选讲习题

证明时间：2020-02-27 12:52:22 收藏本文下载本文

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一、考试说明要求：

二、应知应会知识和方法：

1．如图所示，圆O上的一点C在直径AB上的射影为D，CD=4，BD=8，求圆O的直径．解 10．

说明本题所用的知识点为：①圆周角定理；②射影定理．

2．等边△DEF内接于△ABC，且DE//BC，已知AHBC于点H，BC＝4，AH＝3，求△DEF的边长．

解设等边DEF的边长为x，则它的高为

32x，B

因为DE//BC，所以

43

32x，解得x

F H

．

说明本题所用的知识点为：①相似三角形的性质；②等边三角形的性质．

3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O外一点，且

AC＝AB，BC交⊙O于点D．已知BC＝4，AD＝6，AC交⊙O于点E，求四边形ABDE解因为AB是⊙O的直径，所以ADBC，所以AD是△ABC的中线，所以AB＝AC＝2． BD＝DC＝2，由DECBC，所以DE＝DC＝2由CE·CA=CD·CB,得 CE＝

5，所以AE2

说明所用知识点为①割线定理，②等腰三角形的三线合一定理；③勾股定理．

4．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．（1）求证：FB＝FC；（2）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．证明（1）因为AD平分∠EAC，所以∠EAD＝∠DAC．

因为四边形AFBC内接于圆，所以DACFBC，所以EADFABFCB，所以FBCFCB，所以FB＝FC．

（2）因为AB是△ABC的外接圆的直径，所以ACD90．因为EAC=120，所以DAC

EAC60，D30．

在RT△ACB中，因为BC＝6，BAC60，所以AC 又在RT△ACD中，D

30，AC

AD

说明本题所用的知识点有：①圆的内接四边形的性质；②角平分线的概念；③特殊直角三角形的性质．

5．如图，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC．（1）求证：P＝EDF；（2）求证：CE·EB＝EF·EP；

（3）若CE：BE＝3 ：2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．

解（1）因为DE2=EF·EC，所以DE ：CE=EF：ED．因为DEF是公共角，所以△DEF∽△CED．所以EDF=C．

因为CD∥AP，所以C= P．所以P=EDF．

（2）因为P=EDF，DEF=PEA，所以△DEF∽ΔPEA．所以DE：PE=EF：EA．即EF·EP=DE·EA．因为弦AD、BC相交于点E，所以DE·EA=CE·EB．所以CE·EB=EF·EP．（3）因为DE=EF·EC，DE=6，EF= 4，所以EC=9．因为CE：BE=3：2，所以BE=6．因为CE·EB=EF·EP，所以9×6=4×EP，解得：EP=

152

452

272

．

所以PB=PE－BE=所以PA=，PC=PE＋EC=

152

．由切割线定理得：PA2=PB·PC，152

452，所以PA=3．

说明本题所用知识点：①相似三角形的判断；②相交弦定理；③切割线定理． 6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D，若PE＝PA，ABC60，PD＝1，BD＝8，求线段BC解由切割线定理得 PA＝3．

B C

根据弦切角定理得PACABC60．

又因为 PA＝PE，所以PA＝PE＝AE＝3，ED＝2，BE＝6．由相交弦定理得 EC=4．