圆的证明与计算(弧中点)_圆中的计算与证明

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《弧中点的运用》教学案

张店中学

桂应祥 教学目标：

1、知道过弧中点作圆的切线得到的基本图形以及相关基本结论；

2、会利用该基本图形中的结论（性质）进行计算；

3、通过变式寻求基本图形的性质，从而探求一般解法，培养学生分析问题、解决问题的能力；

4、在变式过程中养成探究的习惯，增强学习数学的信心 教学重点：利用基本图形、基本结论进行计算 教学难点：结合基本图形归纳基本方法 教学过程：

一、探究性质

活动1(1)如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.① DE与AE有何位置关系？证明你的结论.② 连接BC，DE与BC有何关系？证明你的结论.③ 求证：2AE=AC+AB.④ 连接AD、BD，求证；AD2=AEAB.(2)如图2，设切线DE交AB的延长线于F，连接BD并延长交AE的延长线于M，连OD.① AB与AM有何数量关系？为什么？DM与DB呢？CE与ME呢？ ② 由OD∥AE，可得△ODF～△AEF吗？ ③ △MDC与△MAB相似吗？为什么？

【设计思路】涉及弧的中点一般有三种用法：一是等弧对等弦；二是构造弧所对的圆周角的平分线；三是由垂径定理构造矩形。

二、寻求解法 活动2

在图1中，（1）已知DE=3，CE=1，求AB 的长.分析：连 OD交BC于G，则四边形 DECG为矩形，在Rt△OBG中由勾股定理可求出⊙O的半径.(2)已知：AD=310,BC=6,求S△ABD.分析：DE1BC3，可求AE=9,再由△ADE～△ABD,求得AB=10,所以BD=10, 2得到S△ABD=15.归纳：

1、在图中选择适当的直角三角形运用勾股定理是解决圆中计算的常用方法；

2、相似三角形的证明与运用解决圆中计算问题的又一常用方法。

活动3 在图2中，（1）已知AE=9,EF=12, 求 BC的长.分析：先求AF=15,由△ODF～△AEF,得出

ODAE3，设OD=3x,DF=4x,则OF=5x,于是DFEF415275x153xx,所以BC9..再由2AEACAB,得AC84(2)设AD交BC于N，已知AB=15,DF=10, 求 CN的长.25,则AF20.由△ODF～△AEF，求EF=16,得出DE=6.2CNANAB9CN.由BC∥EF,得DEADAF2 分析：先求OF归纳：

1、在Rt△ODF中运用勾股定理；

2、发现并充分利用△ODF～△AEF；

3、利用BC∥EF, 得到比例式.三、拓展训练

1、在图1中，已知⊙O的半径为5，AD=310，求CE的长.2、在图2中，已知DF=5，DE=3，求S△DEM.3、在图2中，已知sinF3,CE1.求⊙O的半径以及EF的长.4