高考试题分类考点49几何证明选讲_立体几何证明分类

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考点49几何证明选讲

一、选择题

1.（2011·北京高考理科·T5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD+AE=AB+BC+CA;②AFAGADAE;③AFB∽ADG.其中正确结论的序号 是（）

（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③

【思路点拨】利用切割线定理、弦切角定理判断以上结论是否正确.【精讲精析】选A.AB+BC+CA=AB+(BF+CF)+CA=AB+(BD+CE)+CA=AD+AE，故①正确；因为

G

AE2AFAG,AD2AFAG，AE2AD2(AFAG)2，AEADAFAG，故②正确；

AFBBFG FDGBFG180，AFBFDGADG，AFB与ADG不相

似，故③不正确.二、填空题

2．（2011·陕西高考理科·T15B）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AEBC，ACD90，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．

【思路点拨】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．

【精讲精析】因为AEBC，所以∠AEB=ACD90，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以所以AE





ACAD, 

AEAB

ABAC6

42，在Rt△AEB

中，BE．

AD1

2【答案】

3．（2011·陕西高考文科·T15B）（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AEBC，ACD90，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．【思路点拨】

寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边

成比例求解．

【精讲精析】因为AEBC，所以∠AEB=ACD90，又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以

【答案】2

4.（2011·广东高考理科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB7，C是圆上一点使得BCACADABAC64，所以AE2． AEABAD125，BACAPB，则AB.【思路点拨】利用相似三角形对应边成比例，求得AB的值.【精讲精析】PABACB,又BACAPB,ABP∽

2CBA, ,从而ABPBBC7535，AB.【答案】

5.（2011·广东高考文科·Ｔ15）（几何证明选讲选做题）如图，在梯形ABCD中，AB

∥CD，AB=4，CD=2.E,F分别为AD，BC上的点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形

EFCD的面积比为.【思路点拨】利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解.【精讲精析】延长AD，BC相交于点G.由已知得GAB∽GDC，GEF∽GDC,所以

SGAB4，SGEF，GCD4GCD4

从而S梯形ABCD3SGCD,S梯形EFCDSGCD,所以梯形ABCD与梯形EFCD的面54

积比为3：4=

5,从而得梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为5.【答案】5

6．（2011·湖南高考理科·T11）如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径

BC=4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为______.【精讲精析】连结AB，AO，CE，OE，则OAB,OCE是边长为2的等边三角形，∵ABD60，∴AD=32所以得到AF=.2，又∵ADBC,∴BD=1,∴

DF=23

3【答案】23 3

7.（2011·天津高考理科·T12）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF=CF=AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切，则线段CE的长为_________.【思路点拨】利用相交线及切线的比例关系求解.【精讲精析】设BE=x,则AF=4x,FB=2x,因为AF?FB,所以D FF

8x22，解得x

12,又CEBEAE,即CE2

三、解答题

8.（2011·江苏高考·Ｔ21A）（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O1与

圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1r2)，圆O1的弦AB交圆O2于

点C（O1不在AB上）.求证：AB:AC为定值.【思路点拨】本题考查的是圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题.解决本题的关键是弦切角定理的应用.【精讲精析】由弦切角定理可得AO2C∽AO1B,

9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ22）如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为m，AC的长为n,AD，AB的长是关于x的方程x

（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；

（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径.【思路点拨】第（Ⅰ）问的证明流程为连接DEADE∽ACBADE

ACB 2ABO1Br1.ACO2Cr214xmn0的两个根.C,B,D,E四点共圆；第（Ⅱ）问，利用平面几何的性质，设法寻求圆心位置，然后求得半径.【精讲精析】（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，ADABmnAEAC，即ADAE.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB，因此∠ADE=∠ACB，ACAB

所以C,B,D,E四点共圆.（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC.HF=AG=5，DF=

故C,B,D,E四点所在圆的半径为52.10.（2011·辽宁高考理科·Ｔ22）（选修4-1：几何证明选讲）

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．

（I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共

圆．

【思路点拨】（I）可证ECDEDCEBA，即得CD//AB；（II）利

用三角形全等及平行线的知识可证得AFGGBA180，得结论．

【精讲精析】（I）因为ECED，所以EDCECD.因为A,B,C,D 四点在同一圆上，所以EDCEBA，故ECDEBA，所以CD∥AB.（II）由（I）知，AEBE，因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF,BG，则EFA≌EGB，故FAEGBE.又CD∥AB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA180.故A,B,G,F四点共圆

.°21(12-2)=5.2