线性代数网络教学阶段测试五由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线性代数第五章测试”。
一、单项选择题（共20题）
1.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】
2.n元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝n
B.该二次型的负惯性指数＝n C.该二次型的正惯性指数＝它的秩
D.该二次型的正惯性指数＝n 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n
3.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到 C-1A（CT）-1= C-1A（C-1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。
C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
4.矩阵的特征值为()
A.1，1B.2，2C.1，2
D.0，0 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】
得到特征值是1，1。
5.已知相似，则有（【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】 6.设矩阵相似.则下列结论错误的是（））
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.7.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】
8.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=()A.2
B.-6 C.6
D.24 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3 ∴|λEA |=（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵A为3阶矩阵
∴| A-λE |=（-1）3|λEA | 展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵|λE-A | 展开式λ3项系数为1 ∴|λEA |=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）将4代入上式得到-6。
13.已知相似，则有（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】
14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为()A.3，1，1B.2，-1，-2 C.3，1，-1
D.3，0，1 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】设A的特征值是λ，则f（A）的特征值就是f（λ），把1,0,-1依次代入，得到3，1，1。
15.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论()不成立。A.A与B相似 B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值 D.A与B有相同的特征向量 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵，所以CT=C-1,B= C-1AC，因此A与B相似，A对。
C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。
（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。
16.已知矩阵A.x=2.5B.x=1
有一个特征值为0，则()C.x=-2.5
D.x=0 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，显然应选A。
17.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则
（）
【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】 【答案
解析】
18.下列矩阵必相似于对角矩阵的是()
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。19.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】
20.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中()是P-1AP对应于λ的特征向量。A.α B.Pα C.P-1αP D.P-1α
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵设P-1AP=B ∴A=PBP-1 又∵Aα=λ0α ∴PBP-1α=λ0α ∴B（P-1α）= λ0(P-1α)
一、单项选择题（共20题）
1.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A.是正定的B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵
所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。
2.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）= y T（PTAP）y= y TBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。
3.已知矩阵有一个特征值为0，则()A.x=2.5B.x=1 C.x=-2.5
D.x=0 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】|A|=5-2x，A有零特征值，得|A|=0，故x=2.5，显然应选A。
4.二次型的矩阵为（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵的定义
5.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为()A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。
6.下列矩阵必相似于对角矩阵的是()
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】C是对称阵，必相似于对角阵，故选C。
7.设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则()未必是正定二次型。A.XT（A+B）X B.XTA-1X C.XTB-1X D.XTABX 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，|A|＞0，设APj=λjPj，则A-1Pj= Pj，A-1的n个特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。这说明XT（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。8.已知相似，则有（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】
9.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是()
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。
10.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论()不成立。A.A与B相似 B.A与B等价 C.A与B有相同的特征值 D.A与B有相同的特征向量 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵，所以CT=C-1,B= C-1AC，因此A与B相似，A对。
C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。
（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。
11.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当()时，x=k1x1+k2 x2 必是A的特征向量。A.k1=0且k2=0
B.k1≠0且k2≠0 C.k1·k2=0
D.k1≠0而k2=0 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】A的特征向量不能是零向量，所以k1、k2不同时为零，所以A、C不对；x1、x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和不再是其中一个方程的解，所以A的特征向量不选B。选D是因为k2=0，k1≠0，x= k1 x1仍然是A的特征向量。
12.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到 C-1A（CT）-1= C-1A（C-1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
13.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】
14.设
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】主对角线元素对应x1，x2，x3平方项系数：1，1，1。a13和a31系数的和对应x1x3的系数2 15.设A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.（）
16.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】 17.设矩阵相似.则下列结论错误的是（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.18.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则
（）
【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】 【答案
解析】
19.n元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝n
B.该二次型的负惯性指数＝n C.该二次型的正惯性指数＝它的秩
D.该二次型的正惯性指数＝n 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n
20.A为三阶矩阵，为它的三个特征值.其对应的特征向量为
.设，则下列等式错误的是（）
【正确答案】C 【您的答案】A
【答
案解析】
一、单项选择题（共20题）
1.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数，故A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故B也不正确；应用排除法，知答案为 D.2.已知相似，则有（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】
3.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A.是正定的B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵
所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。
4.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】 5.设
（A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.6.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到）C-1A（CT）-1= C-1A（C-1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
7.下列矩阵中不是二次型的矩阵的是（）
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】
8.设A的特征值为1，-1，向量α是属于1的特征向量，β是属于-1的特征向量，则下列论断正确的是()A.α和β线性无关
B.α+β是A的特征向量
C.α与β线性相关
D.α与β必正交 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择A。
9.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=()A.B.-6 C.6
D.24 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】∵3阶矩阵A的特征值为1,2,3 ∴|λEA |=（λ-1）（λ-2）（λ-3）∵A为3阶矩阵
∴| A-λE |=（-1）3|λEA | 展开式含有三个因子乘积：（λ-1）（λ-2）（λ-3）
∵|λE-A | 展开式λ3项系数为1 ∴|λEA |=（-1）3（λ-1）（λ-2）（λ-3）将4代入上式得到-6。
15.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是()
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。
16.的一个特征值.则下列结论错误的是（）
【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】根据特征值，特征向量的定义和性质判断A错误.17.下列命题错误的是()A.属于不同特征值的特征向量必线性无关 B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值 D.特征值相同的矩阵未必相似 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。
18.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是()A.A-1正定
B.A没有负的特征值
C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】A-1正定表明存在可逆矩阵C使CTA-1C=In，两边求逆得到 C-1A（CT）-1= C-1A（C-1）T=In
即A合同于In，A正定，因此不应选A。C是A正定的定义，也不是正确的选择。
D表明A的正惯性指数等于n，故A是正定阵，于是只能B。
事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。
19.矩阵的特征值为()
A.1，1B.2，2
C.1，2
D.0，0 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】
得到特征值是1，1。
20.设α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量，P为可逆矩阵，则下列向量中()是P-1AP对应于λ的特征向量。A.α B.Pα C.P-1αP D.P-1α
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵设P-1AP=B ∴A=PBP-1 又∵Aα=λ0α ∴PBP-1α=λ0α ∴B（P-1α）= λ0(P-1α)
一、单项选择题（共20题）1.设矩阵相似.则下列结论错误的是（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】根据相似矩阵的性质判断B错误.2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()A.是正定的B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵
所以r（A）=1，故选项C正确，选项A，B，D都不正确。
3.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=CTAC，则下述结论()不成立。A.A与B相似 B.A与B等价
C.A与B有相同的特征值 D.A与B有相同的特征向量 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵C是正交阵，所以CT=C-1,B= C-1AC，因此A与B相似，A对。
C是正交阵|C|不等于0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对。
两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对。
（λE-A）X=0,（λE-B）X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D。4.已知相似，则有（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】
5.设f=XTAX，g=XTBX是两个n元正定二次型，则()未必是正定二次型。A.XT（A+B）X B.XTA-1X C.XTB-1X D.XTABX 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零，|A|＞0，设APj=λjPj，则A-1Pj= Pj，A-1的n个特征值，j=1,2,…,n，必都大于零，这说明A-1为正定阵，XTA-1X为正定二定型，同理，XTB-1X为正定二次型，对任意n维非零列向量X都有XT（A+B）X=XTAX+XTBX＞0。这说明XT（A+B）X为正定二次型，由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以XTABX未必为正定二次型。
6.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是()
【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】x1，x2，x3平方项系数对应主对角线元素：1，0，4。x1x2系数-2，对应a12和a21系数的和，a12=-1,a21=-1。
7.二次型的矩阵为（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】二次型的矩阵的定义
8.已知A是一个三阶实对称正定的矩阵，那么A的特征值可能是（）
【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】因为实对称矩阵的特征值都是实数，故A，C都不正确；又因为正定矩阵的特征值均为正数，故B也不正确；应用排除法，知答案为 D.9.二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A.一定合同
B.一定相似
C.即相似又合同
D.即不相似也不合同 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】f=xTAx=（Py）TA（Py）= y T（PTAP）y= y TBy，即B=PTAP，所以矩阵A与B一定合同。只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B即相似又合同。
10.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为()A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 【正确答案】C 【您的答案】A
【答案解析】A的正惯性指数为t，负惯性指数为r-t，因此符号差等于2t-r。
11.A为三阶矩阵，为它的三个特征值.其对应的特征向量为
.设，则下列等式错误的是（）
【正确答案】C 【您的答案】A
【答
案解析】
12.设A，B为正定阵，则()A.AB，A+B都正定
B.AB正定，A+B非正定 C.AB非正定，A+B正定
D.AB不一定正定，A+B正定 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】∵A、B正定
∴对任何元素不全为零的向量X永远有XTAX＞0；同时XTBX＞0。因此A+B正定，AB不一定正定，甚至AB可能不是对称阵。
13.λ1,λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当()时，x=k1x1+k2 x2 必是A的特征向量。A.k1=0且k2=0
B.k1≠0且k2≠0 C.k1·k2=0
D.k1≠0而k2=0 【未做】
14.下列命题错误的是()A.属于不同特征值的特征向量必线性无关 B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值 D.特征值相同的矩阵未必相似 【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】属于同一特征值的特征向量未必线性相关，比如单位阵的特征值全是1，但它有n个线性无关的特征向量，因此应选择B。
15.设A.线性无关
B.线性相关
C.对应分量成比例
D.可能有零向量 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】A属于不同特征值的特征向量线性无关.（）
16.矩阵的特征值为()
A.1，1
B.2，2
C.1，2
D.0，0 【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】得到特征值是1，1。
17.的一个特征值.则下列结论错误的是（）
【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】
【答案解析】根据特征值，特征向量的定义和性质判断A错误.18.设A为3阶矩阵，且已知，则A必有一个特征值为（）
【正确答案】B 【您的答案】A
【答案解析】
19.n元实二次型正定的充分必要条件是（）A.该二次型的秩＝n
B.该二次型的负惯性指数＝n C.该二次型的正惯性指数＝它的秩
D.该二次型的正惯性指数＝n 【正确答案】D 【您的答案】A
【答案解析】二次型正定的充分必要条件是二次型的正惯性指数＝n
20.设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3.则
（）
【正确答案】A 【您的答案】A
【答案正确】 【答案
解析】
