((人教版))[[高三数学课件]]福建厦门外国语学校高三数学专题复习之数列篇3《求递推数列通项公式》PPT_高三数学专题复习数列

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 求递推数列通项公式的十种策略例析

递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。解：an12an32n两边除以2n1，得故数列{an2nan12n1an2n32，则

an12n1an2n32，an2n}是以32a121221为首，以

32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3212)2。

an12n11(n1)，所以数列{an}的通项公式为an(nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an32n转化为列{an2nan2n32，说明数}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

an2n1(n1)32，进而求出数列{an}的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2 已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。解：由an1an2n1 得an1an2n1

则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1

[2(n1)1][2(n2)1](221)(211)12[(n1)(n2)21](n1)12(n1)n2(n1)1

所以数列{an}的通项公式为ann2

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an2n1转化为an1an2n1，进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

例3 已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 解：由an1an23n1 得an1an23n1

则an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1

(232(3n11)(23n2n221)(231)(231)3121n1

333)(n1)3n所以an23313n23nn1

评注：本题解题的关键是把递推关系式an1an23n1转化为an1an23n1，进而求出(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1，即得数列{an}的通项公式。

例4 已知数列{an}满足an13an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。解：an13an23n1两边除以3n1，得

an13n1an3nan3n232313n1，an1an123则故an13n113n1an3n(13an3nan1an1231)(1an23n2)(an23n223an33n3)(33a232a131)a13

(23n)(3)(n111313n2)(13132)

2(n1)3(3n3nn113n22)1

1因此an3n232(n1)3n3n123n(1313n1)12n312123n，则an3n12

评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an23n1转化为an13n1an3a131n23a1313n1，进而求出(an3nan3nan13n1)(an13n1an23n2)(an23n2an33n3)+…+(a232)，即得数列{}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5 已知数列{an}满足an12(n1)5nan，a13，求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 解：因为an12(n1)5nan，a13，所以an0，则则ananan1an1an2n1an1ann2(n1)5，a3a2a2a1a1

][2(21)5][2(11)5]3

3

21[2(n11)52n1][2(n21)5n2[n(n1)32]5(n1)(n2)21所以数列{an}的通项公式为

n(n1)an32n152n!

an1ann2(n1)5，进而评注：本题解题的关键是把递推关系an12(n1)5nan转化为求出 anan1an1an2a3a2a2a1a1，即得数列{an}的通项公式。

例6（2004年全国15题）已知数列{an}满足a11，ana12a23a3(n1)

(n1)an1(n2)，则{an}的通项an1，n1n!，n22解：因为ana12a23a3(n1)an1(n2)所以an1a12a23a3(n1)an1nan 所以②式－①式得an1annan 则an1(n1)an(n2)则an1ann1(n2)anan1an1an2a3a2n!2 ②

①

所以ana2

[n(n1)43]a2a2

③

由ana12a23a3(n1)an1(n2)，取n=2得a2a12a2，则a2a1，又知a11，则a21，代入③得

an1345nn!2。

an1an评注：本题解题的关键是把递推关系式an1(n1)an(n2)转化为进而求出anan1an1an2a3a2（n≥2），n1从而可得当n≥2时an的表达式，最后再求出数列{an}的a2，资料由大小学习网收集 www.daodoc.com

资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7

已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列{an}的通项公式。解：设an1x5n12(anx5n)

④

将an12an35n代入④式，得2an35nx5n12an2x5n，等式两边消去nn1nn2x5，两边除以5，得3x52x，则x=－1，代入④式，2an，得35x5得an15n12(an5n)

1n ⑤

an15an5n1n由a15651≠0及⑤式，得an50，则2，则数列{an5n}是以a1511为首项，以2为公比的等比数列，则an5n12n1，故an2n15n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an35n转化为an15n12(an5)，从而可知数列{an5}是等比数列，进而求出数列{an5}的nnn通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

例8 已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x2n1y3(anx2ny)

⑥ 将an13an52n4代入⑥式，得

3an52n4x2n1y3(anx2ny)

整理得(52x)2n4y3x2n3y。令52x3x4y3yn1，则x5y2，代入⑥式，得

nan15223(an522)

⑦

由a15212112130及⑦式，得an5220，则nan152an52n1n223，故数列{an52n2}是以a1521211213为首项，以3为公比的等比数列，因此an52n2133n1，则an133n152n2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an13an52n4转化为an152n123(an52n2)，从而可知数列{an52n2}是等比数列，进而求出数列{an52n2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 例9 已知数列{an}满足an12an3n24n5，a11，求数列{an}的通项公式。解：设an1x(n1)2y(n1)z

2(anxn2ynz)

⑧

将an12an3n24n5代入⑧式，得

2an3n224n5x(n1)y(n1)z 22(anxnynz)，则

22an(3x)n2an2xn2(2xy4)n(xyz5)

22yn2z2yn2z，等式两边消去2an，得(3x)n2(2xy4)n(xyz5)2xn3x2xx3则得方程组2xy42y，则y10，代入⑧式，得

z18xyz52zan13(n1)10(n1)182(an3n2210n18)

⑨

由a131210118131320及⑨式，得

an3n210n180

2则an13(n1)10(n1)18an3n2210n182，故数列{an3n210n18}为以a1311011813132为首项，以an3n22为公比的等比数列，因此10n18322n1，则an2n43n210n18。

评注：本题解题的关键是把递推关系式an12an3n24n5转化为an13(n1)10(n1)182(an3n{an3n22210n18)2，从而可知数列10n18}是等比数列，进而求出数列{an3n10n18}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10 已知数列{an}满足an123na5n，a17，求数列{an}的通项公式。

解：因为an123na5所以an0，an10。在an123na5n，a17，n式两边取常用对数得lgan15lgannlg3lg

2⑩ 设lgan1x(n1)y5(lganxny)○11式，得5lganlg3lg2x(n1)y5(lgax将⑩式代入○ny)，两边消去nn5lgan并整理，得(lg3x)nxylg25xn5y，则

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lg3xlg3x5x4，故 lg3lg2xylg25yy16411式，得lga代入○n1lg34(n1)lg316lg24 ○5(lganlg34nlg316lg24)

lg34由lga1得lganlg34lg341lg316lg316lg24lg24lg3lg71lg316lg2412式，0及○n0，lg25，lgan1lg3则lgan4lg3164lg3lg2n4164(n1)所以数列{lganlg34nlg316lg24n1}是以lg7lg3164lg24lg36n15n1lg34lg3等比数列，则lganlgan(lg7n1lg34n1(lg7lg24n16lg34lg24lg316为首项，以5为公比的lg241)5n1，因此

1n1lg34lg3161lg24)5lg31n1(lg7lg34lg36lg24)5111111lg34lg316lg24[lg(73431624)]5n115n115n1lg34(31624)1lg(73431624)55n1n1n5n115n4n11lg34(31624)lg7(5n4n15n13431624)lg7(5n131624)，则an75n131624。

评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an123na5n转化为lgan1{lganlg34lg34(n1)nlg316lg316lg24lg245(lganlg34nlg316lg24)，从而可知数列

lg34nlg316lg24}的通项

}是等比数列，进而求出数列{lgan公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

(n1)2，a15，求数列{an}的通项公式。例11 已知数列{an}满足an1a3n(n1)2解：因为an1a3，所以 nnnanan13n2n1[an23(n1)2n2]3n2n1

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com an23(n1)n23(n2)232(n2)(n1)[an3an3a13n1n3]3(n1)n22(n2)(n1)3(n2)(n1)n2(n3)(n2)(n1)

23(n2)(n1)n2n(n1)12(n3)(n2)(n1)3a1n1n!22n(n1)又a15，所以数列{an}的通项公式为an53n1n!22。

lgan1lgan评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式an1an3(n1)2n两边取常用对数得lgan13(n1)2nlgan，即

lganlgan1lgan1lgan2lga3lga2lga2lga1n3(n1)2，再由

n(n1)累乘法可推知lganan53n1lga1lg53n1n!22，从而n!2n(n1)2

七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列{an}满足an1an式。

解：由an1ana2a1898(n1)(2n1)(2n3)22，a189，求数列{an}的通项公

8(n1)(2n1)(2n3)22及a189，得

8(11)(211)(213)242522

82925

8(21)a3a22425(221)(223)48498(31)(231)(233)8081(2n1)1(2n1)2222832549

a4a3484922844981

由此可猜测an，往下用数学归纳法证明这个结论。

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com（1）当n=1时，a1(211)1(211)2289，所以等式成立。

(2k1)1(2k1)22（2）假设当n=k时等式成立，即akak1ak2，则当nk1时，8(k1)(2k1)(2k3)22

(2k1)1(2k1)228(k1)(2k1)(2k3)222222[(2k1)1](2k3)228(k1)(2k1)(2k3)2

8(k1)(2k1)(2k3)(2k3)(2k1)(2k3)22222(2k1)(2k3)(2k1)(2k1)(2k3)(2k3)1(2k3)222[2(k1)1]1[2(k1)1]22

由此可知，当n=k+1时等式也成立。根据（1）（2）可知，等式对任何nN*

评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列{an}满足an1式。

解：令bn124an，则an故an11242116(14an124an)，a11，求数列{an}的通项公

124(bn1)116(14an124an)得

2124(bn11)，代入an111612422(bn11)[14(bn1)bn]

2即4b2n1(bn3)

因为bn124an0，故bn1124an10 则2bn1bn3，即bn112bn32，资料由大小学习网收集 www.daodoc.com

资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 可化为bn1312(bn3)，12所以{bn3}是以b13124a13124132为首项，以111222为公比的等比数

1列，因此bn32()n1()n2，则bn()n2+3，即124an()n23，得

2an21n1n1()()。3423评注：本题解题的关键是通过将124an的换元为bn，使得所给递推关系式转化bn112bn32形式，从而可知数列{bn3}为等比数列，进而求出数列{bn3}的通项公式，最后再求出数列{an}的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式 例1

4已知数列{an}满足an1解：令x21x244x121an244an1，a14，求数列{an}的通项公式。

21x244x1139，得4x220x240，则x12，x23是函数f(x)21an2423的两个不动点。因为an12an134an121an244an121an242(4an1)21an243(4an1)13an269an27。an2an3an2an3，所以数列{2(139)n1an2an3}是以

a12a1342432为首项，以

139为公比的等比数列，故，则an2(1139)n13。121x2421x24评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)两个根x12，x23，进而可推出列，再求出数列{

例15 已知数列{an}满足an1解：令x7x22x3an1an14x14x1213an2a2，从而可知数列{n}为等比数

39an3an3的不动点，即方程x的an2an3}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。

7an22an3，a12，求数列{an}的通项公式。

3x14x7，得2x24x20，则x=1是函数f(x)15an52an3的不动点。

因为an117an22an3，所以

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资料由大小学习网收集 www.daodoc.com 1an111a1112an35an525anan35121222，所以数列{(1)}是以

15an1an15an11an11(n1)2521以1为首项，25为公差的等差数列，则，故an2n82n3。

评注：本题解题的关键是先求出函数f(x)x1，进而可推出

3x14x7的不动点，即方程x1an17x22x3的根1an111an125，从而可知数列{}为等差数列，再求出数列{1an1}的通项公式，最后求出数列{an}的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式

例16

已知数列{an}满足an13anan1(n2)，a1a21，求数列{an}的通项公式。

解：an13anan1(n2)的相应特征方程为2310，解之求特征根是1325，2325，所以anc1325c2325。

由初始值a1a21，得方程组

31c1(31c1(2255)c2()c2(21323255)1)2525c15求得

525c25从而an52535n52535n()()。5252评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出c1，c2，从而可得数列{an}的通项公式。

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