余弦定理教学设计（精选8篇）_余弦定理教学设计经典

余弦定理教学设计（精选8篇）由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“余弦定理教学设计经典”。

第1篇：余弦定理教学设计

1.1《正弦定理与余弦定理》教案（新人教版必修5）（原创）

余弦定理

一、教材依据：人民教育出版社（A版）数学必修5第一章 第二节

二、设计思想：

1、教材分析：余弦定理是初中“勾股定理”内容的直接延拓，是解三角形这一章知识的一个重要定理，揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。

2、学情分析：这节课是在学生已经学习了正弦定理及有关知识的基础上，转入对余弦定理的学习，此时学生已经熟悉了探索新知识的数学教学过程，具备了一定的分析能力。

3、设计理念：由于余弦定理有较强的实践性，所以在设计本节课时，创设了一些数学情景，让学生从已有的几何知识出发，自己去分析、探索和证明。激发学生浓厚的学习兴趣，提高学生的创新思维能力。

4、教学指导思想：根据当前学生的学习实际和本节课的内容特点，我采用的是“问题教学法”，精心设计教学内容，提出探究性问

找到解决问题的方法。

三、教学目标：

1、知识与技能：

理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题

2．过程与方法：

通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，发展用数学工具解答现实生活问题的能力。

3．情感、态度与价值观：

探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合”的思想。通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义。

四、教学重点：

通过对三角形边角关系的探索，证明余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形及求解有关问题。

五、教学难点：余弦定理的灵活应用

六、教学流程：

(一)创设情境，课题导入：

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

设计意图：把研究余弦定理的问题和平面几何中三角形全等判定的方法建立联系，沟通新旧知识的联系，引导学生体会量化

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A 引出课题：余弦定理

（二）设置问题，知识探究

1、探究：我们可以先研究计算第三边长度的问题，那么我们又从那些角度研究这个问题能得到一个关系式或计算公式呢？ 设计意图：期望能引导学生从各个不同的方面去研究、探索得到余弦定理。

师生活动：从某一个角度探索并得出余弦定理

2、①考虑用向量的数量积：如图 A

C

设CBa,CAb,ABc,那么，cab222ccc(ab)(ab)ab2abcosCB 即cab222ab2abcosC,引导学生证明22222

bc2bccosAca2cacosB2②还 引导学生运用此法来进行证明

3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的（可以让学生自己总结，教师补充完整）

（三）典型例题剖析：

1、例1：在△ABC中，已知b=2cm,c=2cm,A=1200,解三角形。

教师分析、点拨并板书证明过程

总结：已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本思路是先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求其余各角。变式引申：在△ABC中，已知b=5,c=

53,A=300,解三角形。

2、探究：余弦定理是关于三角形三边和一个角的一个关系式，把这个关系式作某些变形，是否可以解决其他类型的解三角形问题？

设计意图：（1）引入余弦定理的推论（2）对一个数学式子作某种变形，从而得到解决其他类型的数学问题，这是一种基本的研究问题的方法。

师生活动：对余弦定理作某些变形，研究变形后所得关系式的应用。因此应把重点引导到余弦定理的推论上去，即讨论已知三边求角的问题。

引入余弦定理的推论：cosA=cosB=acb2ac222bca2bc2222 ， cosC=

abc2ab22

公式作用：（1）、已知三角形三边，求三角。

（2）、若A为直角，则cosA=0，从而b2+c2=a2

若A为锐角，则 cosA>0, 从而b2+c2>a2

若A为钝角，则 cosA﹤0, 从而b2+c2﹤a2

62,求A、B、C例2:已知在ABC中,a23,b22,c

先让学生自己分析、思索，老师进行引导、启发和补充，最后师生一起求解。

总结：对于已知三角形的三边求三角这种类型，解三角形的基本思路是先由余弦定理求出两角，再用三角形内角和定理求出第三角。（可以先让学生归纳总结，老师补充）变式引申：在△ABC中，a:b:c=2:让学生板练，师生共同评判

3、三角形形状的判定：

例3：在△ABC中，acosA=bcosB,试确定此三角形的形状。

（教师引导学生分析、思考，运用多种方法求解）

求解思路：判断三角形的形状可有两种思路，一是利用边之间的关系来判定，在运算过程中，尽可能地把角的关系化为边的关系；二是利用角之间的关系来判定，将边化成角。

变式引申：在△ABC中，若（a+b+c）(b+c-a)=3bc,并且sinA=2sinBcosC,判断△ABC的形状。

让学生板练，发现问题进行纠正。

（四）课堂检测反馈：

1、已知在△ABC中，b=8,c=3,A=600,则a=()A 2 B 4 C 7 D 9

6:（3+1),求A、B、C。、在△ABC中，若a=

3+1,b=

3-1,c=

10,则△ABC的最大角的度数为（）A 1200 B 900 C 600 D 15003、在△ABC中，a:b:c=1:

3:2,则A：B：C=（）

A 1：2：3 B 2：3：1 C 1：3：2 D 3：1：24、在不等边△ABC中，a是最大的边，若a2

3,2）D（0，）

5、在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D非钝角三角形

（五）课时小结：

（学生自己归纳、补充，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力，教师总结）

运用多种方法推导出余弦定理，并灵活运用余弦定理解决解三角形的两种类型及判断三角形的形状问题。

（六）课后作业：课本第10页A组3（2）、4（2）；B组第2题

（七）教学反思：

本堂课的设计，立足于所创设的情境，注重提出问题，引导学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受到了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

第2篇：余弦定理教学设计

教学设计

一、内容及其解析

1.内容: 余弦定理

2.解析: 余弦定理是继正弦定理教学之后又一关于三角形的边角关系准确量化的一个重要定理。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的结果，就是“在任意三角形中大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，则这两个三角形全等”。同时学生在初中阶段能解决直角三角形中一些边角之间的定量关系。在高中阶段，学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握任意三角形中边角之间的定量关系，从而进一步运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，使学生能更深地体会数学来源于生活，数学服务于生活。

二、目标及其解析

目标：

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。解析：

1、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同 方法，从而培养学生的发散思维。

2、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

三、教学问题诊断分析

1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：

①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而

本节的教学难点就在于余弦定理的证明。如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

四、教学支持条件分析

为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

五、教学过程

（一）教学基本流程

教学过程：

一、创设情境，引入课题

问题1：在△ABC中，∠C = 90°，则用勾股定理就可以得到c2=a2+b

2。【设计意图】：引导学生从最简单入手，从而通过添加辅助线构造直角三角形。师生活动：引导学生从特殊入手，用已有的初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题，从而寻找出这些量之间存在的某种定量关系。

学生1：在△ABC中，如图4，过C作CD⊥AB，垂足为D。在Rt△ACD中，AD=bsin∠1,CD= bcos∠1;在Rt△BCD中，BD=asin∠2, CD=acos∠2;c=(AD+BD)=b-CD+a-CD+2ADBD

= ab2abcos1cos22absin1sin2=ab2abcos(12)ab2abcosC

A

D图

4学生2：如图5，过A作AD⊥BC，垂足为D。

A

图

5则：cADBD

2bCD(aCD)ab2aCDab2abcosC

学生3：如图5，AD = bsinC，CD = bcosC，∴c2 =（bsinC）2+（a-bcosC）2 = a2 +b2-2abcosC

类似地可以证明b= a+c-2accosB，c= a+b-2abcosC。

【设计意图】：首先肯定学生成果，进一步的追问以上思路是否完整，可以使学生的思维更加严密。

师生活动：得出了余弦定理，教师还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。

教师：在前面学习正弦定理的证明过程种，我们用向量法比较简便地证明了正弦定理，那么在余弦定理的证明中，你会有什么想法？

【设计意图】：通过类比、联想，让学生的思维水平得到进一步锻炼和提高，体验到成功的乐趣。

学生4：如图6，记ABc,CBa,CAb则cABCBCAab2

2（c）（ab）

22

ab2ab222

即cab2abcosCcab2abcosC

A

图6

【设计意图】：由向量又联想到坐标，引导学生从直角坐标中用解析法证明定理。

学生7：如图7，建立直角坐标系，在△ABC中，AC = b，BC = a.且A（b，0），B（acosC，asinC），C（0，0），则 cAB

(acosCb)(asinC)

ab2abcosC

【设计意图】：通过以上平面几何知识、向量法、解析法引导学生体会证明余弦定理，更好地让学生主动投入到整个数学学习的过程中，培养学生发散思维能力，拓展学生思维空

间的深度和广度。

二、探究定理 余弦定理：

a

2222222

2bc2bccosA,bac2accosB,cab2abcosC

余弦定理推论： cosA

bca

2bc，cosB

acb

2ac

222，cosC

abc

2ab

222

解决类型：（1）已知三角形的三边，可求出三角；

（2）已知三角形的任意两边与两边的夹角，可求出另外一边和两角。

三、例题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

【设计意图】：让学生理解余弦定理及推论解决两类最基本问题，既①已知三角形两边及夹角，求第三边；②已知三角形三边，求三内角。

四、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

五、小结

本节课的主要内容是余弦定理的证明，从平面几何、向量、坐标等各个不同的方面进行探究，得出的余弦定理无论在什么形状的三角形中都成立，勾股定理也只不过是它的特例。所以它很“完美”，从式子上又可以看出其具“简捷、和谐、对称”的美，其变式即推论也很协调。

【设计意图】：在学生探究数学美，欣赏美的过程中，体会数学造化之神奇，学生可以

兴趣盎然地掌握公式特征、结构及其他变式。

学案

1．2 余弦定理

班级学号

一、学习目标

1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

二、例题与问题

例1：①在△ABC中，已知a = 2，b = 3，∠C = 60°，求边c。

②在△ABC中，已知a = 7，b = 3，c = 5，求A、B、C。

三、目标检测

1、若三角形的三边为2，4，23，那么这个三角形的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形 2．已知三角形的三边为3、4、6，那么此三角形有（）

A．三个锐角 B．两个锐角，一个直角 C．两个锐角，一个钝角 D．以上都不对 3．在△ABC中，若其三边的比是a∶b∶c = 3∶5∶7，则三个内角正弦值的比是______．

4．在△ABC中，已知a = 4，b = 6，C = 120°，求sinA．

配餐作业

一、基础题(A组)

1.在△ABC中，若acosAbcosB，则△ABC的形状是（）A.等腰三角形C.等腰直角三角形

B.直角三角形D.等腰或直角三角形

2.△ABC中，sinA:sinB:sinC3:2:4，那么cosC（）

A.4B.3C.

D.

3.在△ABC中，已知a2，b3，C=120°，则sinA的值为（）

2157

A.38B.7 C.19 D.3

4.在△ABC中，B=135°，C=15°，a5，则此三角形的最大边长为。5.△ABC中，如果a6，b63，A=30°，边c。

二、巩固题(B组)

6.在△ABC中，化简bcosCccosB（）

bc

ac

ab

A.a

B.C.D.7.已知三角形的三边长分别为a、b、aabb，则三角形的最大内角是（）A.135°

B.120°

C.60°

D.90°

8.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x7x60的根，则另一边长为（）

A.52B.16

C.4D.2

9.（06年北京卷，理12）在△ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，则∠B的大小是。

三、提高题(C组

tanB

2acc

10.在△ABC中，a,b,c分别是角A、B、C的对边，且tanCabc，2ab，（1）求C；（2）求A。

cosB

b2ac

11.在△ABC中，a,b,c分别是A、B、C的对边，且cosC（1）求角B的大小；（2）若b

，ac4，求a的值；

第3篇：余弦定理

1.1余弦定理

一、学习目标

1、会利用数量积证明余弦定理，体会向量工具在解决三角形的度量问题时的作用。

2、会运用余弦定理解决两类解三角形的问题。

二、重点与难点

重点：余弦定理的证明及其基本作用

难点：理解余弦定理的作用与适用范围

三、复习回顾

1.正弦定理的内容是什么？

2.正弦定理主要解决哪些解三角形问题？

四、问题导学：

自学教材P49—51页，回答下面问题。

1、余弦定理的内容是什么? 请用文字语言和数学符号表示出来.尝试自己证明同理的两个等式

2、余弦定理和勾股定理什么关系？

3、余弦定理能解决哪类解三角形的问题？

4、例4，例5各是什么问题?怎么解决？

五、你还有什么问题？

六、自学检测

1、在△ABC中，下列等式中不成立的是（）

A a2b2c22bccosABb2c2a22accosB C cosAbca222

2bc2ab2、已知在△ABC中，a2,b5,c6,则cosB_________DcosCabc222。

3、已知在△ABC中b3,c5,A120，则a____________。

4、在△ABC中，已知a7,b8,cosC

七、当堂训练

1、课本p51页练习1，22、在△ABC中，b3,c33,B30,求a的值

八、课堂反思

九、能力提升

1.在△ABC中，B60,且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为_________

2.在△ABC中，AB7,BC5，CA6，则ABBC的值为______________

3、已知△ABC的三边分别是2,3,4，则判断此三角形的形状

4、在△ABC中，a1,B45,且此三角形的面积是2，求这个三角形外接圆的直径 1314，则最大角的余弦为___________ 

第4篇：余弦定理

必修5第一章:解三角形编者：审核：班级：姓名：时间：

第三课时余弦定理

学习目标: 1.掌握余弦定理的两种表示形式；2.掌握证明余弦定理的向量方法；3.会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。教学重点：余弦定理的证明过程及其基本应用.教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用

学法指导：余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的，解三角形时，注意分析三角形中的条件，根据条件选择利用哪个定理。条件不够的三角形，要探索与其他三角形的关系，必要时也可列方程(组)求解． 知识回顾：

1.请你写出正弦定理

2.利用正弦定理可解两类三角形：（1）_________________(2)_________________ 3.请你写出勾股定理 自主学习

一．阅读教材第5---6页，完成下列内容。1.教材是用什么方法证明c

2a2b22abcosC的？请你用同样的方法证明

a

2b2

c2

2bccosAb2

=a2

+c2

-2accosB。你还有其它方法吗？

2.用语言怎样叙述余弦定理？勾股定理与余弦定理有什么关系？

3.请写出余弦定理的推论

cosA=cosB=cosC=

4.设a是△ABC最长的边，则

(1)△ABC是钝角三角形 a2

b2

c

(2)△ABC是锐角三角形_____________________(3)△ABC是直角三角形_____________________

5.如何判定角的范围？

方法一：向量（非零）的数量积方法二：余弦定理

若>0,则A_______若b2c2

>a2,则A_____

若=0,则A=_____若b2c2=a2,则A=____若

6.根据余弦定理及其推论，回答下列问题（1）已知三边，如何求三个角？（2）已知两边和它们的夹角，如何求第三边和其他两个角？

7.利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题：（1）已知三边，解三角形。（2）已知两边和它们的夹角，解三角形。

例1.在ΔABC中，(1).已知b=8，c=3，A=60°,求a;(2).已知a=20,b=29,c=21,求∠B;

(3).已知a=,b=1,B=30°,求c.例2.在三角形ABC中a2

＋b2

2ab＝c2，求角C的值.例3：在ABC中，已知a7,b10,c6，试判断ABC的形状。

练习

22211.已知ABC中,B60,b2ac,试判断△ABC的形状.1.在ABC中，若abcbc，则A=（）

A 3B 253C6D 6

2.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足

（ab）

2c24，且C=60°，则ab的值为()

A． 43B

．8C． 1D．2

3.在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=

1，则b=（）

A4B3C2D1

4.在△ABC中，已知a＝3，b＝1，∠A＝30°，则c等于()

A．1

B．2C．3-1

D．

35.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于()

A．12C．2D．

413

6.在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝14，则最大角的余弦值是________．

7.已知三角形三边之比是5：7：8，则最大角和最小角的和为8.在△ABC中，a2+c2

2B=_________

在△ABC中，边a,b的长是方程x2

5x20的两个根，C=60°，求边c的长.10.已知ABC中,a33,c2,B150,求b及sinC.12.在△ABC中，AB=2，BC=1，cosC=34

（1）求sinA(2)

反思小结：

求BC→·CA →

第四课时余弦定理

学习目标：能够用正弦、余弦定理解三角形，判断三角形的形状 学习重点：用正弦、余弦定理解三角形

学法指导：在有关三角形的题目中，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息．余弦定理求角时，角的值是唯一确定的，这样避免产生增解.已知三边解三角形，得到的三角形一定只有一解，在求解的过程中，如果混用正弦定理，则要注意对增解的取舍.复习回顾

1、正弦定理：R为C的外接圆的半径，则有=== 2R.2、正弦定理的变形：（1）边化角： a=，b =，c =；（2）角化边：sin，sin，sinC；（3）a:b:c；（4）

abcabsinsinsinCsinsin

c．

sinC3、余弦定理：在C中，有a

2，b2

，c2

．

4、余弦定理的推论：cos，cos，cosC．

5、设a、b、c是C的角A、B、C的对边，则：若a

2b2

c2，则C90；

若a2b2c2，则C90； 若a2b2c2，则C90．

6、解三角形的四种类型：（1）已知三边解三角形，用定理；（2）已知两边和夹角解三角形，用定理；（3）已知两边和其中一边的对角解三角形，用定理；（有三种情况：“有两解，一解，或无解”，用大边对大角进行判断。）（4）已知两角和任一边解三角形，用定理。

7、判断三角形的形状，主要有两条途径：（1）化边为角；（2）化角为边。具体方法：①通过正弦定理，②通过余弦定理，8.三角形ABC中常用的变换

sin(A+B)=_sinC_____ sin(B+C)=____________ sin(A+C)=____________cos(A+B)=___________,cos(B+C)=________________,cos(A+C)=_______________sin(A+BB+CA+C

2)=____________，sin(2)=____________，2)=____________

cos(A+BB+C2)=____________，cos(2)=____________，A+C)=____________ 自主学习

1.阅读第7页例3.例4，在解三角形的过程中，求某一个角时既可以用余弦定理，又可以用正弦定理，两种方法有什么利弊？

例1.在△ABC中，已知b

=23，cB600，求a及A；

例2.在△ABC中，已知bcosC=(2a－c)cosB。（1）求角B的大小。（2）若b2=ac，试判断△ABC的形状。

例3.已知钝角三角形ABC，a=2, b=3，求c边的取值范围。

练习

1.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定

2.在ABC中．sin2Asin2Bsin

2CsinBsinC．则A的取值范围是（）

A．（0，6]B．[ 

6，）C．（0，3]D．[，）3.若△ABC的三个内角满足sinA:sinB:sinC5:11:13，则△ABC（）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2b2，sinCB，则A=（）

（A）300（B）600（C）1200（D）15005.在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，三角形的形状是.（）

A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 直角三角形

6.如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF（）

162

3A.27B.3

C.D.47、在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）

A.19B.-14C.-18D.-19 8..在△ABC中，AB=2,BC1,cosC3,则AC=___________.9.在△ABC中，已知a=3,b=5,c=7, 则C=____，cosA______,sinB_________.10.在△ABC中，A＝120°，AB=5,BC=7,则求sinB

sinC

11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC（1）求cosC；（2）若CBCA

5，且ab9，求c边．

1a212.在△ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足2absinCb2c2，求角C．

13.在锐角ABC中，BC1,B2A,（1）求

AC

cosA的值，（2）求AC的取值范围

14.在△ABC中，C=2A , cosA=34, →BA·→BC=27

2。（1）求cosB(2)求边长AC。

15根据所给条件，判断ABC的形状。cos

Ab2c2c

16.在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边上的中线AD7,求BC的长.反思小结：

第5篇：1.2 余弦定理教学设计

凤凰高中数学教学参考书配套教学软件_教学设计

1.2 余弦定理

南京师范大学附属中学张跃红

教学目标：

1.掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；

2.能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

教学重点：

重点是余弦定理及其证明过程．

教学难点：

难点是余弦定理的推导和证明．

教学过程：

1.创设情景，提出问题．

问题1：修建一条高速公路，要开凿隧道将一

段山体打通．现要测量该山体底侧两点间的距离，即要测量该山体两底侧A、B两点间的距离（如图

1）．请想办法解决这个问题．

设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题，在其解决的过程中得到余弦定理，自然引出本课的学习内容．

2.构建模型，解决问题．

学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点C，然后量出AC，BC的长度，再测出∠ACB．△ABC是确定的，就可以计算出AB的长．接下来，请三位板演其解法．

法1：（构造直角三角形）

如图2，过点A作垂线交BC于点D，则

｜AD｜＝｜AC｜sinC，｜CD｜＝｜AC｜cosC，｜BD｜＝｜BC｜－｜CD｜＝｜BC｜－｜AC｜cosC，所以，|AB||AD|2|BD|2|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

C

法2：（向量方法）

如图3，因为ABACCB，22 所以，AB(ACCB)

22ACCB2ACCBcos(C),即 |AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

法3：（建立直角坐标系）C建立如图4所示的直角坐标系，则A（｜AC｜cosC, ｜AC｜sinC），B（｜BC｜, 0），根据两点间的距离公式，可得

|AB|(|AC|cosC|BC|)2(|AC|sinC0)2，所以，|AB|AC|2|BC|22|AC||BC|cosC．

活动评价：师生共同评价板演．

3.追踪成果，提出猜想．

师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边长，则有c2a2b22abcosC成立．类似的还有其他等式，a2c2b22cbcosA，b2c2a22cacosB．

正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，因为与正弦有关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理．

问题2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？

设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维习惯．

学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角C进行分类讨论，即分角C为锐角、直角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三种解法可以作为余弦定理的证明过程．

教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式．而在证明等式的过程中，我们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点

间的距离公式来解决，等等．

4.探幽入微，深化理解．

问题3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友”，看一看它有什么特征？

学生活动：勾股定理是余弦定理的特例． 反过来也可以说，余弦定理是勾股定理的推广；当角C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系 a2b2c2，a2b2c2；c2a2b22abcosC是边长a、b、c的轮换式，同时等式右边的角与等式左边的边相对应；等式右边有点象完全平方，等等．

教师总结：我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看，然后再近处看，先从外表再到内心深处．观察等式时，先从整体（比如轮换）再到局部（比如等式左右边角的对称），从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广）．

问题4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？

设计意图：让学生真正体会到学习余弦定理的必要性．同时又可以得到余弦定理能解决的三角形所满足的条件，以及余弦定理的各种变形．让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”．

学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

cosA,cosB,cosC． 2bc2ac2ab

5.学以致用，拓展延伸．

练习：

1．在△ABC中，若a＝3,b＝5,c＝7，求角C．

2．（1）在△ABC中，若b1,c6,A450，解这个三角形．

（2）在△ABC中，b,B600,c1，求a．

学生活动：练习后相互交流得出，解答题1时，利用的是余弦定理的变形形a2b2c2

式cosC；而题2既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决． 2ab

思考：正弦定理与余弦定理间是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦

定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考．

第6篇：余弦定理教学教案

1.1.2余弦定理

●教学目标

知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 ●教学重点

余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； ●教学难点

勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。●教学过程

1、复习：已知A=300,C=450,b=16解三角形。（可以让学生板练）

2、若将条件C=450改成c=8如何解三角形？

师生活动：用数学符号来表达“已知三角形的两边及其夹角解三角形”：已知△ABC，BC=a,AC=b,和角C，求解c,B,A

引出课题：余弦定理

Ⅱ.讲授新课 [探索研究]

从而c2a2b22abcosC(图1．1-5)同理可证a2b2c22bccosA

2bac2accosB

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即a2b2c22bccosA

222

bac2accosB 222

cab2abcosC

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

bca

cosA

2bcacb

cosB

2acbac

cosC

2ba

[理解定理] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？

从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

A如图1．1-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则b

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ 

c（由学生总结）若ABC中，C=900，则cosC0，这时c2a2b

22由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。ccabab[例题分析]aabb2abCaB22

a

2ab

例

1、在ABC中，已知a23,b3,C30，解此三角形。

32法一：由正弦定理

3

bsinB



csinC，即

312



33sinC，解得sinC

32，解：由余弦定理：c2a2b22abcosC1292233

因为cb，所以C60或120，c

cosA

bca

2bc





222

当C60时，A90，ABC为直角三角形，此时a



931263



bc

6；

0，A90；



当C120时，A30，AB，所以ab3。法

B180309060；



二

：由余弦定理bac2accosB

222，得

例

2、在ABC中，已知a7,b10,c6，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。

解：由余弦定理的推论可得： cosA

bca

2bcacb

2acabc

2ab

528

3a3

3



233acos30，化简可得a29a180，解得a6或a3。

2940



1003649

1204936100

844910036

140



当a6时，由正弦定理得sinA

asinBb

1，A90,C60;



cosB

528

当a3时，由正弦定理得sinA

asinBb



2，A30,C120

cosC

113140

问题拓展：如果本题只要求判定三角形形状，是否还是按照上述步骤进行求解。请同学分析上述两种解法的优缺点，从而总结适合自己的方法。

[补充练习]在ABC中，若a2b2c2bc，求角A（答案：A=1200）Ⅳ.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

由cosB0可知B为钝角，所以ABC为钝角三角形。



例

3、在ABC中，已知b3,c33,B30,解此三角形。

解：

第7篇：余弦定理教学案

余弦定理数学教学案2

教学目的1．使学生掌握余弦定理及其证明方法．

2．使学生初步掌握余弦定理的应用．

教学重点与难点

教学重点是余弦定理及其应用；

教学难点是用解析法证明余弦定理．

教学过程设计

一、复习

师：直角△ABC中有如下的边角关系(设∠C=90°)：

(1)角的关系 A+B+C=180°．

A+B=90°．

(2)边的关系c2=a2+b2．

二、引入

师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．

如图1，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2．

如图2，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2．

经过议论学生已得到当∠C≠90°时，c2≠a2+b2，那么c2与a2+b2到底相差多少呢？请同学们继续思考．

如图3，当∠C为锐角时，作BD⊥AC于D，BD把△ABC分成两个直角三角形：

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△BDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC．

所以，AB2=AD2+BD2化为

c2=(b－acosC)2+(asinC)2，c2=b2－2abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b2－2abcosC．

我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC的关系．

从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．

下面请同学们自己动手推导结论．

如图4，当∠C为钝角时，作BD⊥AC，交AC的延长线于D．

△ACB是两个直角三角形之差．

在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2．

在Rt△BCD中，∠BCD=π－C．

BD=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．

所以AB2=AD2+BD2化为

c2=(AC+CD)2+BD2

=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2

=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)

=b2+2abcos(π－C)+a2．

因为cos(π－C)=－cosC，所以c2=b2+a2－2abcosC．

这里∠C为钝角，cosC为负值，－2abcosC为正值，所以b2+a2－2abcosC＞a2+b2，即c2＞a2+b2．

从以上我们可以看出，无论∠C是锐角还是钝角，△ABC的三边都满足

c2=a2+b2－2abcosC．

这就是余弦定理．我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到

a2=b2+c2－2bccosA． b2=c2+a2－2accosB．

三、证明余弦定理

师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．

我们仍就以∠C为主进行证明．

如图5，我们把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b，CB=a，AB=c，则A，B，C点的坐标分别为A(b，0)，B(acosC，asinC)，C(0，0)．

请同学们分析B点坐标是怎样得来的．

生：∠ACB=∠C，CB为∠ACB的终边，B为CB上一点，设B的坐标为(x，师：回答很准确，A，B两点间的距离如何求？

生：|AB|2=(acosC－b)2+(asinC－0)=a2cos2C－2abcosC+b2+a2sin2C

=a2+b2－2abcosC，即c2=a2+b2－2abcosC．

师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．

余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：

a2=b2+c2－2bccosA． c2=a2+b2－2abcosC． b2=a2+c2－2accosB．

若用三边表示角，余弦定理可以写为

四、余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．

解 由余弦定理可知

Bc2=Ab2+Ac2－2AB×AC·cosA

所以BC=7．

以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用．

五、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是

c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．

这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．

六、应用举例

例1 在△ABC中，求证c=bcosA+acosB．

师：请同学们先做几分钟．

生甲：如图6，作CD⊥AB于D．

在Rt△ACD中，AD=b·cosA；在Rt△CBD中，DB=a·cosB．而c=AD+DB，所以

c=bcosA+acosB．

师：这位学生的证法是否完备，请大家讨论．

生乙：他的证法有问题，因为作CD⊥AB时垂足D不一定落在AB上．若落在AB的延长线上时，c≠AD+DB，而c=AD－DB．

师：学生乙的问题提得好，我们如果把学生乙所说的情况补充上是否就完备了呢？

生丙：还不够．因为作CD⊥AB时，垂足D还可以落在B处．

师：其实垂足D有五种落法，如落在AB上；AB的延长线上；BA的延长线上；A点或B点处．我们要分这么多种情况证明未免有些太麻烦了．

请大家借用余弦定理证明．

生：因为 acosB+bcosA

所以 c=acosB+bcosA．

师：这种证法显然简单，它避开了分类讨论．你们知道为什么这种证法不用分类讨论吗？

生：因为余弦定理本身适用于各种三角形．

例2 三角形ABC中，AB=2，AC=3，BC=4，求△ABC的面积．

师：我们通常求三角形的面积要用公式

这个题目，我们应该如何下手呢？

生：可以用余弦定理由三边求出一个内角的余弦值，再用同角公式导出这个角的正弦后，最后代入三角形面积公式．

解 因为a=4，b=3，c=2，所以

由sin2A+cos2A=1，且A为△ABC内角，得

例3 在三角形ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长．

请同学们先设计解题方案．

生甲：我想在△ABC中，已知三边的长可求出cosB．在△BCD中，由BC=7，BD=4.5及cosB的值，再用一次余弦定理便可求出CD．

师：这个方案很好．请同学很快计算出结果．

解 设D为AB中点，连CD．

在△ACB中，由AC=8，BC=7，AB=9，得

生乙：我们在初中碰到中线时，经常延长中线，所以我想延长中线CD到E，使DE=CD，想在△BCE中解决．

已知BC=7，BE=AC=8，若再知道cos∠CBE，便可解决，但我不知怎样求cos∠CBE．

师：这个问题提得很有价值，请大家一起帮助学生乙解决这个难点．

(学生开始议论．)

生丙：连接AE，由于AD=DB，CD=DE，所以四边形ACBE为平行四边形，可得AC∥BE，∠CBE与∠ACB互补．我能利用余弦定理求出cos∠BCA，再利用互补关系解出cos∠CBE．

师：大家看看他讲得好不好．请大家用第二套方案解题．

解 延长CD至E，使DE=CD．

因为CD=DE，AD=DB，所以四边形ACBE是平行四边形．所以

BE=AC=8，∠ACB+∠CBE=180°．

在△ACB中，CB=7，AC=8，AB=9，由余弦定理可得

在△CBE中，这两种解法都是两次用到余弦定理，可见掌握余弦定理是十分必要的．

七、总结

本节课我们研究了三角形的一种边角关系，即余弦定理，它的证明我们可以用解析法．它的形式有两种，一种是用两边及夹角的余弦表示第三边，另一种是三边表示角．

余弦定理适用于各种三角形，当一个三角形的一个内角为90°时，余弦定理就自然化为勾股定理或锐角三角函数．

余弦定理的作用如同它的两种形式，一是已知两边及夹角解决第三边问题；另一个是已知三边解决三内角问题．注意在(0，π)范围内余弦值和角的一一对应性．若cos A＞0，则A为锐角；若cosA=0，则A为直角；若cosA＜0，则A为钝角．

另外本节课我们所涉及的内容有两处用到分类讨论的思想方法．请大家解决问题时要考虑全面．如果能回避分类讨论的，应尽可能回避，如用解析法证明余弦定理、用余弦定理证明例1等等．

八、作业

5．已知△ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状．

课堂教学设计说明

1．余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视．本内容安排两节课适宜．第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用．

2．当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性．

第8篇：《余弦定理》教学反思

1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。

2、本节课的重点首先是定理的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。