二分法教学设计（精选5篇）_二分法获奖教学设计

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第1篇：“二分法”的教学设计新版作文资料

“二分法”的教学设计

高中数学必修1第三章是函数与方程，本章分两节，第一节的重点是通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识。本节又安排了3课时，第二课时是用二分法求方程的近似解，下面是我对这节课的设计。

新课程特别倡导用具体的、有趣的、富有挑战性的素材引导学生投入教学活动。于是我模仿中央台二套购物街栏目设计了一个猜手机价格的游戏，我先写下一个“价格782元”的纸条，再秘密地交给一位同学，并悄悄地告诉这位同学误差是10元，也就是说当竞猜的同学说出的价格在772元和792元之间的时候，就要恭喜这位同学猜对了，从而结束游戏。一听说做游戏，同学们都情绪高涨，跃跃欲试。学生推荐了一位男生和一位女生来竞猜。价格最初锁定在504元到1000元之间，在“猜得高了！”“低了！”的提示下，“达标”的价格很快被猜了出来。

我又趁机用“二分法”来猜价格，因为价格在504元到1000元之间，所以我首先取504和1000的平均数即=752来猜，这时提示的应该是“低了”，就可以判断价格应该在752到1000之间，我接着取752和1000的平均数即，这时提示的应该是“高了”，这时就可以判断价格应该在752和876之间，我继续取752和876的平均数即 =814，这时提示的还应该是“高了”，我再取752与814的平均数即=783，同学们都说猜中了，如果把价格看做函数的零点，价格所在的范围看成区间，那我每次取的数都是区间的中点，这种通过取区间的中点把区间一分为二，从而一步步把“价格”逼近到“达标的范围”的方法就是我们这节课要学习的“二分法”。然后我及时地给出“二分法”的概念。

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）

S1：确定区间[a，b]，验证f（a）·f（b）

S2：求区间（a，b）的中点c；

S3：计算f（c）；

（1）若f（c）=0，则c就是函数的零点；

（2）若f（a）·f（c）

（3）若f（c）·f（b）

S4：判断是否达到精确度?%^：即若|a-b|

让学生结合竞猜价格的实例类比掌握用二分法求函数零点的近似值的步骤。竞猜中，允许的误差范围相当于什么？“高了”“低了”的含义是什么？如何确定价格的最可能的范围？在竞猜游戏中生成“二分法”的概念。整节课都围绕着这个游戏，运用类比的方法展开并完成了新知的学习。数学教育不仅仅关注学生的学习结果，更为关注结果是如何发生、发展的。

让学生联系生活实际找出二分法的用途，比如喝酒令里面的猜扑克牌游戏，还有在维修电话线中的运用。一工人要维修一条10km长的电话线，如何迅速查出故障所在。如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子。因此就可使用二分法：设电线两端分别为A、B，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC中点D，发现BD正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来看，这样每查一次，就可以把待查线路长度缩减为一半，故经过7次查找，就可以将故障发生的范围缩小到50－100m左右，即在一两根电线杆附近。这样就省了很多精力了。对于生活中一些故障排查、人员查询等问题，都可以通过二分法的思想来处理这类问题，其过程比较省，速度比较快。二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，这在现实生活中也有许多重要的应用，其思想方法在生活中经常碰到。在解答以上这类实际问题关键在于分析二分法的思想及其应用的实质，根据实际情况加以判断和总结，巧妙取中间，巧妙分析和缩小故障的区间，从而达到以最短的时间和最小的精力达到目的。

最后让学生课后讨论称重问题：现有12个小球，从外观上看完全相同，除了一个小球重量不合标准外，其余的小球重量均相同。用一架天平，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重、如何称。

二分法的思想方法除了可以用来处理生活中、数学中的对称的问题外，还可以通过其思想方法来处理一些现实中的不对称的问题，在生活中、数学中也是经常见到，要注意二分法思想方法与实例问题之间的联系和应用。

这节课学生从竞猜游戏中获取了数学知识，再运用数学知识解决了一些实际问题，不仅克服掉了学生对数学的害怕和厌恶，而且能激发学生学好数学的内在动机，这对提高中学生的素质及以后的进一步学习有着深远的意义。

第2篇：3.1.2用二分法求方程的近似解(教学设计)

3.1.2用二分法求方程的近似解

地点：高一（20）班

时间：11月6日上午第二节课

一、教材分析

本节内容是数学必修一第三章第一节《函数与方程》的第二小节，二分法是求方程近似解的常用方法，它体现了函数的思想以及函数与方程的联系，为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，为数学3中算法的内容的学习做了铺垫。二分法体现了数学的逼近思想，对学生以后学习圆周的计算、球的表面积体积公式的由来等微积分的知识起了奠基作用。

二、教学目标

1.理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的一种方法；利用信息技术辅助教学，让学生用计算器验证求方程近似值的过程；

2.体会二分法的思想与方法，使学生意识到二分法是求方程近似解的一种方法；让学生了解近似逼近思想，培养学生探究问题的能力、创新的能力；

3.体验并理解函数与方程相互转化的数学思想方法；感受通过迂回的方法使问题得到解决。

三、教学重点：二分法的原理及其探究过程；用二分法求方程的近似解。

四、教学难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。

五、教学方法：探究式教学法

六、教学过程

（一）情境导入

问题：11月份，我会选择一天的晚自习让同学们进行必修一的综合测试，那么大家猜一猜我会选在哪一天？猜测之前给大家3个游戏规则：①这天不在1号，不在30号；

②如果大家猜测的日期在考试之前我就说小了，在考试之后我就说大了； ③大家猜测的日期和考试的日期相差一天就算对。

提问1：在刚才的猜测过程中发生了什么样的情境？

15日这个日期是不是基本上位于这个线段的中间的位置？这个时候我说大了，那么原来这个区间1-30这个区间长度是不是由原来的30天缩短为15天？区间猜测的范围是不是缩小了？再猜测7日，我说小了，那是不是区间又由原来的1-15日15天缩短为7-15日？

提问2：在整个的情境发生过程中我们能发现哪几个问题？

1.整个的区间长度在逐渐的缩小，而且这个缩小的区间越来越靠近我考试的精确日期，也就是取中点这个方法是有效的；

2.我之所以说相差一天就算对，实际上作用是什么？控制误差，这个误差在我们数学上叫做精确度，我们把整个的区间长度规定为精确度，这个度精确度越来越小

3.体现了两种思想，第一种思想是越来越逼近于我考试的精确日期，另一种是精确度可以控制我的猜测次数 这个问题能不能抽离它的实际背景，把它放到数学应用中来？ 提问3：我们一起来看一下这个问题：解方程：lnx2x60？

求方程lnx2x60的近似解也就是求它对应的函数f(x)lnx2x6的零点的近似值。这个函数的零点在哪个区间？这个函数为什么在区间（2,3）内有零点？

现在我想让大家求出这个函数的精确零点，或者这个函数对应的方程的精确的根，但是很可惜大家用现有的方法无法解出它的精确的零点。因此我又类比刚刚猜考试日期这个想法，让它逼近精确的零点。我们就会想到求这个函数所对应方程的近似解。这节课我们主要学习求方程的近似解。

（二）新课学习

要把一开始所确定的（2,3）这个区间逐步逐步的缩小，让这个区间缩小后是的这个近似解越来越靠近精确解。那么，如何来缩小这个区间呢？回想刚刚猜测考试日期的过程。

我们要不断缩小（2，3）这个区间使它逐步逼近方程精确的解。取区间的中点。提问4：如何判断到底取中点左侧的区间还是右侧的区间，这个问题如何解决？

猜考试日期时我说大了、小了，在区间端点处都标记了大小，这个大小，实际上对应了我考试日期的正负，请大家计算区间中点处的函数值，并函数值的正负。也就是每次取中点以后我们是不是都要计算中点的函数值。通过看中点处函数值的符号判断零点在中点左侧区间还是右侧区间。

我们知道，函数f(x)的图象与直角坐标系中x轴交点的横坐标就是方程f(x)0的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

（2）用计算器计算f(2.5)0.084，因为f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5,3)内；

（3）再取区间(2.5,3)中点2.75，用计算器计算f(2.75)0.512，因为f(2.5)f(2.75)0，所以零点在区间(2.5,2.75)内．

二分法定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）． 零点所在的区间不停的缩小，那么这个缩小的过程是不是要永无止境的缩小下去？

提问5：零点所在的区间不断缩小，那么这个缩小的过程是不是要永无止境的进行下去？我们要如何终止这个区间的缩小过程？

（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．

本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

0.01，所以，我们可将x2.53125作为函当精确度为0.01时，由于2.53906252.531250.0078125数f(x)lnx2x6零点的近似值，也即方程lnx2x60根的近似值． 提问6：能否根据刚刚求方程lnx2x60近似解的步骤总结用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤？ 给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤： 1）确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)0，给定精确度； 2）求区间(a,b)的中点c； 3）计算f(c)；

4）判断：（1）若f(c)0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0，则令bc（此时零点x0(a,c)）；（3）若f(c)f(b)0，则令ac（此时零点x0(c,b)）．

5）判断：区间长度是否达到精确度？即若ab，则得到零点近似值；否则重复2——5．

（三）课堂练习

求方程x33x10的近似解（精确度为0.1）

（四）课堂小结

1、什么是二分法？具有什么特点的函数适合用二分法求其零点的近似解？

2、利用二分法求方程近似解的步骤

3、本节课运用了哪些数学思想方法

（五）课后作业

P89练习2 阅读课本P89-P91

第3篇：古德诺——政治行政二分法

4．今天应该如何认识看待古德诺这些行政观点？（协调，适度控制，中央集权）

古德诺总体上关注如何才能既实现民主治理，又提高政府行政管理的效率。民主与效率要兼顾，而其认为方法是政治与行政的协调。他认为“政治”是国家意志的表达；而“行政”则是国家意志的执行。要实现这两者的协调，就包括政治对行政的适度控制和行政的适度集权。

他认为，政治对行政的某种形式的控制是政治与行政协调的基础。控制方法有：A、通过法定制度达到；B、通过法外途径，如政党体制来实现。古德诺认识到，“政治”对“行政”的控制必须有一定的限度，其关键是要找出控制的恰当限度。他认为政治对行政的控制应当限于对狭义的执行性机构进行，然后再通过控制这种机构的高层高官即可（政治性任命官员）。

政治与行政协调的道路之二是行政的适度集权。古德诺认为，协调不仅取决于政治对行政的适度控制，而且还取决于行政权力的必要集中。美国是将“分权”理论精神贯彻得最为彻底的国家，它不仅将国家作了横向的划分，使立法、行政、司法三种权力相互分立，相互制约，而且还使中央与地方分权——联邦制与地方一定程度的自治。在古德诺看来，这种分权虽然有其可取的一面，但也存在许多不可忽视的弊端。其中之一就是导致政治与行政的失调。即：中央徒有国家意志表达的权力，但这种意志的执行则在相当程度上仰赖于地方，而地方如果不受中央的控制，在执行时则可能歪曲这种国家意志，使之屈从于地方利益的需要。为避免分裂，中央政府便会通过加强立法（因为行政权在地方手中）来限制地方权力，保证统一。而地方则会使用消极的不执行权来对抗。而如此一来，一方面国家的意志无法贯彻，另一方面宪法所规定的地方自治权实际上也受到了侵犯和否定。在古德诺看来，这正是美国的情形。因此，古德诺主张行政权的必要集权。

古德诺着重对政治与行政的协调关系以及如何实现这种协调提出了自己的独到见解。其思想和观点都较为深刻。对今天的政治学产生了非常深远的影响，有很大的借鉴意义。总体上看，古德诺的行政学研究与威尔逊的研究有相当一致的地方，他也是站在中小资产阶级利益一边，主张行政权力的集中，批评了美国建国之初被奉为神圣的某些思想原则。因此，与威尔逊一样，古德诺的研究也明显地带有某种批判精神，他把注意点放在影响行政变革的政府制度上，而没有真正地深入到行政管理内部的那些技术性细节上去。这些特点的形成，与他所处的时代以及他所代表的利益造成的。总体上，行政学研究在古德诺、威尔逊等行政学创立起这里，仅仅只是完成了一个起步，它的深入、全面、系统的展开则是他们之后的下一代的课题。

6.古德诺行政学思想的社会历史背景？（美国，欧洲的政府体制与管理现状）

19世纪后期主要资本主义国家的主要政治发展的趋势有：（1）行政权力的膨胀，如英，美等国的国会权力削弱、首相或总统的权力相应增强。（2）国家机器进一步加强，欧美各国均加强了中央集权，完善了军事和警察组织，强化了国家机器的镇压职能。（3）政府结构日趋完善，如英美等国进行了文官制度改革，使用专家对政府机构进行科学管理。（4）政治民主进一步扩大。欧美各国在加强国家机器、稳固自己统治的同时，也逐步放宽加大人民享有的民主权利。（5）英美法三国的两党制度或多党制度正式形成，意大利、德国也存在着稳定的政党政治活动。

同时，19世纪后期随着资本主义向垄断过渡，社会不公加剧，人民群众的不满情绪日益增强，无产阶级的斗争活动和斗争水平也日益提高，从而迫使统治集团进行社会调整；工业化和城市化使得社会生活日趋复杂化，产生了许多新问题，急需解决；科学教育事业的发展为进行社会调整提供了科技力量；社会财富的增加为进行社会调整提供了物质基础。出于这些原因，主要资本主义国家在社会领域进行的调整，包括劳工立法，大力发展教育以及社会生活立法，如食品饮料卫生，环境卫生，健康和居住条件。

在此背景下，原有的行政管理方法已经不能适应时代的要求，迫切需要一门科学来指导国家的行政管理活动，以是政府更好地履行其职能和完成其使命。于是行政学应运而生，在威尔逊对政治学这门学科作出奠基后，紧接着古德诺便对政治与行政的分离做了进一步的发挥。

政管1004娄梦丹

第4篇：读政治与行政二分法有感[1]

一、古德诺阐述的政治与行政二分法

1、政治与行政的功能

从分析国家的主要功能出发，古德诺指出作为政治实体的国家的行为，既存在于对表达其意志所必需的活动中，也存在于对执行其意志所必需的活动中。所有的政府体制中都存在着两种主要的或基本的政府功能，即国家意志的表达功能和国家意志的执行功能，无论政府体制之间的差异如何。在所有的国家中也都存在着分立的机关，每个分立的机关都用它们的大部分时间行使着两种功能中的一种。这两种功能就是：政治与行政。

古德诺认为，政治的功能主要于对国家意志的表达有关，它不仅涉及到决定谁最根本地，谁其次地和谁代理地表达国家意志等国家主权和政府体制问题，还与决定采取何种方式表达国家意志有关；其次又与国家意志的执行有关。因此政治的功能包括制宪、立法、政府官员选举，以及对国家意志执行功能的控制。

执行国家意志的功能古德诺称之为行政。在他看来，行政既是司法的，又是政府的。由于立法机关不可能把所有的国家意志都表达得非常清楚而不会产生争议，而这种必然会产生的争议又必须在执行之前得到解决。因此，为了方便起见，国家意志的解释权通常被委托给某种多少独立于立法的机关，这种机关通常被称作司法机构，而司法机构的这种非立法活动通常就叫做司法行政。古德诺把司法方面以外的行政功能叫做政府行政，并将政府行政功能细分为三种：一种是行政的准司法功能，这种功能存在于司法与政府行政之间的分界线上，其职能与司法行政功能相似；第二种功能是执行功能，其职能就是执行已表达出来的国家意志，即法律；第三种功能是统计和半科学的功能，其职能主要是从事行政技术性工作。古德诺还进一步将行政执行功能区分为高层行政执行功能和具体的行政执行功能两种。而进行这种区分是为了说明政治与行政分开的可操作性。古德诺认为，政治应该对高层行政功能有较多控制，而对具体行政则应少控制，以利于提高行政效率。

2、政治与行政的协调

古德诺在阐释了这两种功能并在两者之间做出区分的同时，进一步对政治——行政二分法加以论述。他认为政治与行政的分离是相对的，不是绝对的。分离不是脱离，不可想象脱离政治的行政，也不可想像没有行政过程的政治。我们可以看到，美国的政治体制在很大程度上是建立在蒙德斯鸠三权分立的原则及其推论的基础上的，“这一理论原则要求存在分离的政府机构，每个机构只限于行使一种被分开了的政府机构。然而分权原则的极端形式不能作为任何具体政治组织的基础。因为政治功能的行使可能不只委托给政府中的某一个或某一套机构，而任何一个机构或一套机构也可能不只限于行使这一种功能。因此，实际政治的需要要求国家意志的表达与执行之间协调一致。”在建立与政治相分离的行政系统的时候，必须强调政治与行政之间的协调。为了求得这种协调，“就必须或者牺牲掉国家意志的表达机构的独立性，或者牺牲掉国家意志执行机构的独立性”。而“民治的政府要求执行机构必须服从表达机构，因为后者理所当然地比执行机构更能够代表人民”。因此，表达国家意志的机关必须对执行这种国家意志的机关进行某种控制。也就是说，政治必须对行政有一定控制。“因为没有这种控制，有条理有进取的政府是不可能存在的，但这种控制必须有一定的限度”。“如果控制扩展得超出了这一限制”。“如果控制扩展得超出了这一限制，它就会立刻失去其存在的理由”。这种过度控制不仅会妨碍有效的行政执行功能，而且还会损害建立这一控制的目的，使国家意志形式上的真正内容相违背，阻碍人民自发地表达自己的意志。由此，古德诺得出结论，必须找出这种必不可少的控制的恰当限度以实现二者间的协调。

古德诺认为政治与行政取得协调的基础是政治对行政的适度控制。这种适度控制可以通过“机构”和“官员”两方面来实现。就机构而言，政治与行政的控制应当仅限于狭义的执行性机构，其他诸如司法、准司法、统计和半科学性质的政府机构都应当保持自己的独立性，不受政治的影响。另一方面，从官员这一层次来讲，执行性官员（只须最高级官员）从属于政治，保证政治对行政的控制，他们随政党共进退，其余的行政官员应是不受政治影响的常任文官，以保证行政的高效。

与此同时，古德诺还指出，行政组织与政党的关系也要保持适度的平衡，因为在政党力量强大而行政体制软弱的情况下，政治对行政过度控制，行政组织会被利用来实现政党的目的而妨碍国家意志的自由准确的表达。反之，又会有利用行政组织对选举的控制权来影响国家意志自由表达的危险。因此，只有保证政治对行政的适度控制，才有可能实现民治政府和高效行政。

二、对古德诺政治与行政二分法的评价

毫无疑问，对政治行政二分法的系统论述应归功于古德诺。他不仅在威尔逊的基础上作了进一步的阐释，而且对政治与行政的协调以及如何实现这种协调提出了（针对美国的现状）可操作性的措施和简介。“值得注意的是，政治与行政两分法的观念也容易给人一种错觉，似乎政治与行政是政府的两种相互独立、相互平衡的活动。”这种错觉就是我们开始所看到的那种说法。同时“古德诺在《政治与行政》中提出的相当多的一部分思想都是现代西方国家行政理论的重要组成部分。”

以此观之，古德诺的二分法中渗透了西方社会传统和工业时代（当时）的价值诉求——民主与效率。而这一双重价值至今仍是世界上大多数国家的追求。综观行政发展的历史研究及主流行政学理论体系的建构及实践方案的设计都是在政治与行政二分的前提下进行的。这种二分法不但是针对当时美国流行的政党分赃而提出的一种对策，而且是针对当时资本主义经济的飞速发展引起的国家政治体制变动的一种回应。实践证明他确实较好地缓和了资本主义国家在发展中产生的民主与效率冲突的矛盾。二分法以民主选举、政党政治来保证和体现民主；而以政治中立、具有专业技术、职业生涯的文官保障效率。民主和效率便天然地统一了起来。而后期新公共行政在对二分法批判的基础上，倡导的以社会公平为价值取向，效率次之的观点，在本质上并不与古德诺论述的二分法理论相矛盾。只不过，新公共行政学派根据当时现实的需要，对古德诺提出的民治政府和效率行政（无等级次序之分）的双重价值作了一个位置的编排。在上个世纪八〇年代又兴起的新公共管理运动的价值体系中也作了类似的变动。其实古德诺的二分法犹如韦伯的科层制（或称官僚制），它是一种“理想类别”，是一种理论对实践衡量的标杆（价值尺度），而现代社会发展仍然摆脱不了这把尺子。

正确理解和评价政治与行政二分这一观点，既有助于我国行政学理论的健康发展，又有助于我国在政府管理实践中合理地处理政治与行政的关系。

一、生平与著述

弗兰克·古德诺（1859-1939）。美国著名的政治学家、行政学家和法学家。但在西方行政学史上，让古德诺闻名的，是他的政治与行政二分法思想。

古德诺大学时在美国哥伦比亚大学主修法律，后任该校教授，对法学、政治学以及行政学均有研究自1888年在该校主讲行政法学课程，为时近20年，并在此逐渐建立起他的学术声誉，出版了《比较行政学》等书。

此外，古德诺曾任美国政治学会的第一任主席。

1913-1914年曾在北京担任中国政府的政治顾问，1914年因撰写了《共和与君主论》，鼓吹帝制而卷入中国政治旋涡，并因此背负骂名。

1914-1928：任美国约翰·霍普金斯大学校长，对该校发展作出重大贡献：学校规模扩大，学生人数增长四倍。

1900年出版了体现了其主要行政学思想的名著《政治与行政》。

在该书中，古德诺舍弃了的立法、行政、司法三分的政治学传统，对威尔逊提出的政治-行政二分法作了进一步的阐释和发挥。提出政治是民意的表现，也即政策的决定，行政是民意的执行，也是政策的执行。

他这种创造性的主张对后来行政学的独立研究有着很大的贡献。

以《政治与行政》一书中，古德诺通过对国家行政与政治、法律、政党的相互关系；行政与立法、司法的相互关系；中央与地方的关系以及行政功能与体制的关系等一系列重大理论问题的考察与分析，比较系统地阐述了他的行政学思想。该书奠定了他在行政学研究上的不朽地位，对后世的行政学研究产生了深远的影响。

二、主要思想内容

由于受时代的影响，古德诺并没有把自己的主要注意力集中在行政部门的具体事务上，而是分析了行政有效展开所涉及到的外部环境问题。其行政学思想主要体现在其著作《政治与行政》中。

民主与效率要兼顾，而其认为方法是政治与行政的协调，并指出了政治与行政协调的几条具体途径。〈一〉、对政治—行政二分法的进一步阐释 古德诺以提出政治—行政二分法而闻名。

所有政府体制中都存在着两种主要或基本的政府功能： “政治”——国家意志的表达； “行政”——国家意志的执行

古德诺对政治—行政二分法的贡献，并不在于他提出的这个“政治—行政”两分法本身有什么新意。其贡献在于：他通过对‘政治—行政’二分法的进一步阐释：

① 第一次澄清了这种“二分”的提法而容易造成的一种误解。—— 这种误解认为：一种政府功能只存在于一种政府机构之中。② 第一次指明了这样一个道理：“分权原则的极端形式不能作为任何具体政治组织的基础”。“因为这一原则要求存在分立的政府，每个政府机构只限于行使一种被分开了的政府功能。然而，实际政治的需要却要求国家意志的表达与执行之间协调一致”。

这种进一步的阐释为其后来所提出的一些具有独创性行政思想奠定基础。

古德诺的第一个基本观点：政治与行政是两种不同的功能，但这种区分只是是纯理论上的，而不可能是实践性的。实践中，这两种功能不能被截然分开并分别委以给不同机关；而且这两种功能之间必须取得某种协调。

〈二〉对政治与行政应如何协调的途径的探讨

古德诺表现出的真正兴趣，主要不是“政治”与“行政”的分离，而是它们二者的协调。他认为，政治与行政二者之间必须以某种方式取得协调。这也就是他在〈政治与行政〉一书中所反复强调的主线。古德诺在指出政治与行政必须取得某种协调后，着重探讨了如何取得这种协调。

1、政治与行政协调的道路之一：政治对行政的适度控制（1）政治必须取得对行政的某种程度的控制：

他认为，政治对行政的某种形式的控制是政治与行政协调的基础。

控制方法：A、通过法定制度达到的，如：英国内阁必须对议会负责；B、通过法外途径——如政党体制——实现的。例如，在那些“把分别主要承担这两种功能的机构在法律上分开”的政府中，如美国，这种控制就是由政党来完成。

（2）政治对行政的控制必须有一定的限度。古德诺认识到，“政治”对“行政”的控制必须有一定的限度。因为这种控制一旦超过某种限度，就不仅会妨碍有效的行政执行功能，而且还会损害建立这一控制的目的。

问题的关键是要找出政治对行政的这种必不可少的控制的恰当限度，以真正实现政治与行政的协调。

如何保持这种恰当的控制限度呢？古德诺的答案并不复杂。他把行政功能从内部再作了划分，包括有执行功能、司法功能、准司法功能（如课税、具体规划、选举等）、统计功能和半科学化功能（如专利事务管理，地质勘查管理等）。

他认为政治对行政的控制应当限于对狭义的执行性机构进行，其他诸如司法、准司法、统计和半科学性质的政府机构都应该保持自己的独立性，而不受政治影响。执行性官员（只需最高级官员）从属于政治，保证政治对行政的控制，他们随政党而进退，其余的行政应该是不受政治影响的常任文官，以保证行政的效率。只有如此，真正的民治政府和有效的行政管理才能得到。” 古德诺的第二个基本观点：为取得政治与行政之间的协调，政治必须对行政拥有某种“适度”的控制，即控制行政功能中之狭义的执行性机构——通过控制这种机构的高层高官即可（政治性任命官员）。

2、政治与行政协调的道路之二：行政的适度集权

古德诺认为，协调不仅取决于政治对行政的适度控制，而且还取决于行政权力的必要集中。美国是将“分权”理论精神贯彻得最为彻底的国家，它不仅将国家作了横向的划分，使立法、行政、司法三种权力相互分立，相互制约，而且还使中央与地方分权——联邦制与地方一定程度的自治。

在古德诺看来，这种分权虽然有其可取的一面，但也存在许多不可忽视的弊端。其中之一就是导致政治与行政的失调。他认为，中央与地方的这种分权，造成了行政力量统一性的破坏，从而使国家意志的执行出现了问题。

即：中央徒有国家意志表达的权力，但这种意志的执行则在相当程度上仰赖于地方，而地方如果不受中央的控制，在执行时则可能歪曲这种国家意志，使之屈从于地方利益的需要。古德诺认为，地方不受控制，它就会脱离国家（或州）从而使整体走向分裂。

为避免分裂，中央政府便会通过加强立法（因为行政权在地方手中）来限制地方权力，保证统一。而地方则会使用消极的不执行权来对抗。而如此一来，一方面国家的意志无法贯彻，另一方面宪法所规定的地方自治权实际上也受到了侵犯和否定。在古德诺看来，这正是美国的情形。为此，古德诺认为，要改变这种现状，便只有通过行政权的集中这个唯一的途径。他认为，传统上人们对集权的担忧和恐惧其实是受到了误导，是没有根据的。因此，古德诺主张行政权的必要集权。

古德诺的第三个基本观点：为取得行政的效率以及保证民主，行政集权都是必要的。

3、在美国政治与行政协调的独特道路：法外调节

如前所述，古德诺指出了协调的必要性，指出了走向协调的两条必由之路：即政治对行政的适度控制和行政权的必要集中。

然而，美国宪法所提供的法定政府体制使这种“适度控制”和“必要集中”得不到赖以成长和发展的任何基础。美国宪法使得国家意志的主要体现者即立法机构不可能直接控制行政机构的领袖；使得联邦行政权力和地方行政割裂开来而失去统一性。但美国的政府体制仍然基本上保持了稳定和协调，它们依靠的是什么呢？古德诺对美国政府机构的运作进行了仔细的分析，结果发现这种协调来自一种法定体制外的调节功能，这就是政党。政党问题虽然在美国法定体制之内没有丝毫地位，但古德诺发现，美国政府体制得以顺利运行所必不可少的“适度控制”与“必要的行政集权”全来自于政党功能的发挥。

也就是说，通过政党对立法机构成员和执行机构成员的挑选，通过政党对中央行政官员和地方行政官员的挑选，而恢复了被法定体制所阻止的国家行政系统的大一统性质，建立起一种必要的行政集权。

总之，正是由于政党本身的统一性和党员对党的忠诚，美国政治体制的设计者给后人的巨大难题才得以顺利解决。

这实际是古德诺对美国一百多年来奉为神圣不可动摇、作为政府体制读者论坛基础的分权制衡理论进行的深刻反思。

古德诺的第四个基本观点：美国的政党制度对于保证美国政府体制的顺利运转是必不可少、至关重要的。

4、美国加强民主和效率协调的主攻方向：政府体制的改革

古德诺认为，由于政党在美国政府体制中具有如此重大的作用，因此必须使美国的政府体制作出某种调整以正式容纳政党这个现实，发挥它已有的协调功能，制定出政党的行为规范，减轻和消除政党有可能给社会带来的消极因素。

为达此目的，古德诺认为首先要变革美国行政分权的体制，从而使政党能对政府负起全责。由于美国政府体制上的原因，行政权是分散的。尽管政党负起挑选行政官员的责任，但是，各类行政长官的任期不一致，选举有错落，政党在一次选举胜利中所能获得的对政府的控制并不是全面的。这种行政权不能集中于一党的局面，便造成了责任不明确的弊病，进而必将会带来推诿、搪塞、涣散和无效率。为此，应该将所有的行政执行权集中到一个行政长官手中，从而使政党能通过一次选举胜利而担负起全部责任来。

这里，古德诺明确指出了建立行政集权体制是政党得以对政府负责，加强民主与效率协调的的重要保证。

其次，由于美国政府体制高度分权所带来的各种复杂矛盾并非是能够为一个弱小的、涣散的政党所解决的，因此从这种实际要求中形成的政党都是较为强大的全国性政党。

然而，一个强大的全国性政党也有可能在某种不受控制的情况下形成对民主和效率的破坏和威胁。因此，古德诺认为，有必要对政党的行为作出规范，将政党这个法外的东西吸收到法律以内，加以一定的管束，防止政党将自身变成目的。

例如，政党在控制行政的过程中，完全有可能超过必要的限度，就像“政党分肥制”那样，既使得行政效率因为大量的“外行”涌入而丧失殆尽，又使得行政机构整个儿“政治化”，从而危及国家意志的自由表达。文官制度的实行，实际上是对政党行政的一种限定，它不但保证了行政效率，而且也保证了政治对行政控制的适度。

在把政党由法外引进法内来的问题上，古德诺还竭力主张要明确政党在政府体制中的地位，把它置于民主化、法制化的管理之下，从而使它摆脱受少数人控制和操纵的局面。古德诺还主张政党应该实行财务公开原则，防止政党和利益集团之间的关系于密切化。

最后，古德诺还认为，美国的两党制度实际上常常使选民对政党四年的整个政策作出单一的评判，这样往往导致许多问题不能真正体现出人民的意志。为了适应分解政治问题，从而使政党对人民的意志更负责任的需要，政府体制应该采取的另一项改革措施就是“更加经常地使用公民投票的方法”。

古德诺的第五个基本观点：美国政府体制改革的方向在于：将政党制度纳入法制化轨道，使之成为法内制度，对其行为进行规范和约束，以使其更加负起责任。同时，美国应更多地采用公民投票之方法。

行为主义行政学论文

一般认为，行政学作为一门独立的学科始于威尔逊的《行政学研究》，此后相关理论不断丰富、研究队伍不断壮大。尽管目前学界对行政学是否全然成为一门学科仍有争议，但这并不影响我们肯定行政学家们在把行政学塑造成为一门学科上的努力。从西蒙的代表作之一——《管理行为：管理组织决策过程的研究》来分析西蒙对行政学如何成为一门独立的、不断发展的学科做出的贡献。

关键词：西蒙；行政学；学科；管理行为

也许是西蒙获得的是诺贝尔经济学奖的缘故，他的这本书更多的时候被译为了《管理行为》，并常常被划归为经济管理类书目。但无论就其标题中的“administration”（行政），还是书中对公共组织的多处提及，无不证明了该书首先应该划归为行政学著作的范畴。也正因此，笔者较为关注西蒙的理论为行政学这一相对年轻的学科的发展做出了怎样的贡献。

行政学（Public Administration或Administration）就其字面意思来理解，可分为“行政”和“学”两个关键元素。前者表明行政学研究的对象，后者表明行政学的属性——学科，是一套有着独特领域的理论、方法和知识。自其发端以来的诸多定义的区别主要集中在两个层面，即“宪政主义”的层面和“管理主义”的层面。这两个层面恰好反映了行政管理学发展史上两个不同时期研究的不同侧重点。持“宪政主义”行政观的人主要是一些早期的行政学者。他们以宏观的国家权力分配为出发点，在此基础上，要么将行政理解为凡国家立法、司法以外的政府的总称，要么基于政治——行政二分法将行政理解为狭窄的国家行政机关的功能或事务。持“管理”行政观的人主要是科学管理运动兴起后的一些行政学者。他们从科学管理的原则出发看待公共行政，将行政理解为一个实际而广泛的运作过程。他们注重行政管理实施过程中的方法及其有效性。

传统公共行政由威尔逊和古德诺的政治——行政两分法、泰罗主义、韦伯的官僚制、英美文官制度所建构的理论框架，经怀特的系统化、古利克的一体化和福莱特的动态化后，在20世纪二三十年代成为西方行政学的主导范式。然而这种范式到了40年代却受到了西蒙的批评，其矛头不在于行政学本身，而在于传统范式缺乏科学性。因此，就行政学之所以能成为一门学科并不断发展，西蒙功不可没。

1使行政学理论规范化

（1）“批判性地考察”流行原则。西蒙对行政理论之路的探索是从“批判性地考察”流行的行政原则的缺陷开始的。西蒙声明他的书与流行的行政原则不同，因为那些行政原理“像谚语那样，总是成对出现。无论对哪个原则来说，差不多都能找到一个看来同样有道理、同样可接受的对立原则。虽然这些成对的原则会导致两种截然不同的组织工作建议，但行政理论却没有指明哪个更加适用”。西蒙列出的行政原则至少就包括了专业化分工，命令统一性，管理幅度，按目的、过程、用户或地点进行分工的组织等等。

西蒙对流行的行政原则的批判不在于要驳倒某个具体的观点，或是提出更多定理似的行政原则，而在于引起人们重视——现在流行的这些看起来简单明了的原则很容易导致实际管理工作的混乱。西蒙指出，“行政研究的正确途径，要求我们识别出全部重要的诊断判据；要求我们用完整的一系列准则去分析行政问题；要求我们通过研究搞清楚，在多项准则相互矛盾这种经常出现的情况下，应如何去进行权衡。”

西蒙这种对奉为经典的行政理论，仍然保持清醒的治学态度本身就是科学精神的体现，为行政学的不断自省树立了楷模。

（2）构筑自身的话语体系——建立科学化概念。西蒙明确提到“在科学上，原理得以建立之前，必须先建立概念。”“因此，行政理论的首要任务，就是要建立一系列概念，而且是能从理论角度描述行政问题的概念。”为此，西蒙对“权威”进行了他的界定。而更重要的是，西蒙告诉了人们如何使这些概念科学化的方法，即“使之具有操作性。它们的含义必须对应于在经验上可以观察到的事实或局面。”

可以看出，西蒙在对通往行政科学之路上的探索较之前人更加关注了行政学的一些更加本原、微观、细节的地方，强调了一门行政学的建立不仅仅在于术语更加规范化，要能应用于指导实践，还必须有自己独特的话语体系，进而确立自己独特的一套理论，才能构筑起一门科学的大厦。行政学也许是脱胎于政治学，行政学也许借鉴了经济学、心理学、管理学等等科学，这不是不可以，但一定不能在借鉴中迷失自我的特色。我想这是西蒙留给行政学建设的更深层的启示之一。

2使行政学理论求实化

西蒙强调决策中包含事实要素和价值要素。对这两类要素的区分具有根本性的意义：“使我们懂得„正确的‟行政决策究竟指什么。澄清了行政学文献中频繁出现的政策问题和行政问题的区别。”其中，事实命题是“关于可以观察到的事物及其运动方式的陈述”；价值命题是关于管理者对某种事物喜好的表示，表明对该事物的某种判断。由于事实命题是可以通过检验来确定真伪的，因此我们可以说事实与价值的区分是辨明科学与非科学的标志。我们可以据此判断事物是否真像事实命题所描述的那样，使行政学走向类似自然科学那样的实证之路，从而构建科学的行政理论和真正的行政科学。“行政学像任何一门科学一样，仅仅关心事实叙述。科学体系中没有伦理断言的立锥之地。一旦有伦理语句出现，我们总可以将它分解为两部分：事实部分和伦理部分。只有前者同科学有关。”西蒙的这一理论让我们明白，社会科学虽然与自然科学不同，但仍然是一门科学，而科学最本质的就是要经得起推敲，否则就是伪科学。且不论行政学是否一定能采用实证的方式来研究，至少西蒙体现了科学求实的本质精神。

3使行政学理论务实化

在西蒙以前，古典经济学理论的基本命题是完全理性。但西蒙认为：“个人行为必然永远达不到理性标准”，理性是有限度的。这是因为人的知识是有限的，决策者既不可能掌握全部信息，也无法认识决策的详尽规律；人的计算能力有限，无法处理数量巨大的变量方程组；人的想象力和设想能力有限, 不可能把全部备择方案列出；人的价值取向并非始终如一，目的时常改变；人的目的往往多元, 而且互相抵触，没有统一的标准。

传统的理性假设只是一种极限，是人类不断追求的目标，人们只能通过不断的探索去接近它，才是积极的理性态度。西蒙的决策理论，修正了此前理性选择设计的完美性偏差，从而拉近了理性选择预设条件与现实生活理性局限之间的距离。人们既然不可能寻找最优的解决方案，那么以“令人满意”作为选择方案的标准，寻求次优方案实为务实之举。瑞典皇家科学院也认为：西蒙对组织内决策的观察和研究，看起来似乎比不上古典利润最大化理论那么优美，但是却提供了对某些管理领域的理解和预测更可行的方法。也就是说，西蒙不是追求理论的更加漂亮，而是追求理论的更加适用。

4使行政学研究开放化

毋庸赘言，事物有着内在的本质的千丝万缕的联系。作为对事物本质的正确反映的科学，也必然是相互贯通的。西蒙在行政学研究方法上给人们的一个重要启示就是行政学，作为一门学科，理所应当地拓展研究的视角和思路、以开放的心态引入其他学科优秀的成果。这不仅仅使得行政学能更加合理、科学地完善其理论，更在于它使得行政学具有了一种兼收并蓄的恢弘大气，更加具有科学的精神。

从本书的宏观层面看，书中广泛地应用了心理学的知识来做研究，较为集中和明显的章节比如：第五章对行政决策心理学的研究，西蒙以此为理论支撑指出了传统理性假设的不可取，并进而树立起其有限理性观；第六章关于诱因的研究、第七章关于权威的理论、第十章、第十二章等，是继梅奥、巴纳德、福莱特等人之后又一位从组织成员——个人的心理角度来探索组织问题的学者。

第5篇：“用二分法求方程的近似解”教案

“用二分法求方程的近似解”教案

一、教学目标

1．让学生掌握二分法，并能利用计算器或计算机用二分法求方程的近似解； 2．培养和加强函数与方程思想和数形结合思想的运用．

二、教学重点

通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识．

三、教学难点

１．理解方程实根的本质及几何意义； ２．对方程近似解精确度的把握．

四、教具

以几何画板课件为主．

五、教学过程

１．问题情境（旨在引导学生感知寻求新方法解方程之必要性——为什么）

【问题１】求方程x3x3x10的实根． 【解析】由配方可得(x1)0，所以x1． 【问题２】解方程x1.1x0.9x1.40．

教师：方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程．以前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程的求根公式，但因其推导过程比较复杂且公式不易记忆，所以中学课本

图1

一般都不作介绍．当然，我们现在可以利用几何画板来求解．在几何画板上绘出函数

32332x31.1x20.9x1.40的图象，在图象上选取一个点并度量其横坐标以及纵坐标．当移动该点时，函数值就会相应地改变．当函数值为0或接近0时，这个横坐标的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（见图1）．

学生：这方法简单，又易操作，很好！

教师：此法虽简单，但其精度无法估算．能否寻找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其它方法呢？

【问题３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，鲁国人．中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派的创始人．全世界300万姓孔的人都可能被认为是孔子的后代．孔子的族人传承2550年至今，已繁衍有82代．假设三代同堂的话，那么一个父母每个世代平均繁衍的数量是多少？

【解析】设一个父母每代平均繁衍的数量为x个，则x79x80x813000000．此方程现在我们也无法解．类

似地，我们用几何画板先绘出函数yx79x80x81的图

图2 象，然后利用度量功能，估算出当函数值等于或接近3000000时方程的近似解x1.18836（见图2）．由于指数太大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便．为了使移动点更方便些，也可把点选在x轴上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值．

一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了，（有兴趣的学生可以自己去阅读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得x1.1883个）

２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样）【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？

教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”．

【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？ 教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法．

引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多．

【例】下列那一项是三次方程x4x7x100的解？

A．－

2B．－

5C．

4D．3

（３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明．

思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处）

引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法）

３．新课（怎么做）

让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并

逐步补充完整．

注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值；

（２）求方程的近似解时，精确解（m）是未知的．当相邻两个近似解满足|xi1xi|(iN*)时，由f(xi1)f(xi)0，说明精确解介于xi1和xi之间，故有|xi1m|(iN*)或|xim|(iN*)，所以xi1和xi都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过比较相邻两个的近似解可以确定精确度；

（３）如果方程有整数解，那么用二分法解方程反而有可能得不到此解；同样地，如果方程有重根，即相应函数在区间端点的函数值不变号，曲线与x轴相切时，这个解也可能求不出．

【例１】用二分法求方程x1.1x0.9x1.40在0与1之间的实根的近似值，使误差不超过0.001．

为方便起见，可借助几何画板的计算功能进行演示（见图3）．

操作过程：①根据精确度要求，通过参数选项选择精确度（如万分之一）； ②绘制函数图象；

③利用函数计算函数值，同时计算区间中点的值； ④计算误差，并确定近似解． 由计算可知，此方程的近似解为x0.670或x0.671．（事实上，从函数值来看，x0.671会更精确些．显然，要得到一个比较精确的值，其计算次数是比较大的．（说明其收敛速度慢，所以在实际应用中比较少用）

练习：

（１）求方程

lnx2x60的近似解，使误差不超过0.01．

（为了减少计算量，可先作出函数ylnx和y2x6的图象，确定其交点横坐标的大概值．

图3 练习时，可让同桌同学合作，一个计算，另一个纪录）

（２）借助计算器用二分法求方程23x7的近似解（精确度0.1）． ４．拓展探究（从几何画板方面）

【例２】利用几何画板求方程23x7的近似解（精确度0.0001）．

【解析】几何画板中用解析式绘制的函数图象与坐标轴不能构造交点，但利用不是用解析式绘制的图形，那是可以构造交点并度量其坐标的．既然是求方程的近似解，所以我们可

xx32

以在零点附近构造一条线段（弦），然后构造弦与x轴的交点并度量其横坐标．接着，一端固定（此点的选择与函数的单调性以及凹性有关，如此题的A点），另一端在曲线上找一点（其横坐标等于交点的横坐标），两端点连成新的弦，再构造交点，依次进行下去，直到求出满足精确度的近似解为止（见图4）．显然，x1.4332满足要求．

５．课堂小结

（１）二分法是分类归谬法的一种具体表现形式（体现方法的通性）；

（２）引导学生回顾二分法，明确它是一种求一元方程近似解的通法（仅适用于单调区间上端点函数值异号的情形）；

（３）利用估值或根据函数图象（简图）确定初始区间；

（４）近似解精确度的估算：|xi1xi|(iN*)；

图4（５）揭示算法定义，了解算法特点．

算法定义：算法一般是指求解某个问题的长度有限的指令序列，每条指令都是确定的、简单的，机械的，可执行的．对于任一属于这个问题的实例的有效输入，应在有限步（一步执行一条指令）内给出结果（输出），并中止．算法语言就是比较高级的程序设计自动化语言，它与数学公式非常接近而与计算机的内部逻辑结构无关．

用二分法求方程的近似解，由于计算量较大，而且都是程式化的步骤，因此二分法可以利用计算机程序，借助计算机解题．

６．布置课外作业（１）精选课本上的习题；

（２）收集并阅读有关资料，写一篇古今中外数学家关于方程求解问题探索历程的文章．

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