正切函数的性质与图象 教学设计_正切函数图像性质教案

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《1.4.3 正切函数的性质与图象》教学设计

一、教材内容分析

本节课内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修4第一章《三角函数》1.4《三角函数的图象与性质》中的第1.4.3节《正切函数的性质与图象》，属于本小节第四课时.第一课时我们学习了“正弦函数、余弦函数的图象”，第二课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的周期性”，第三课时学习了“正弦函数、余弦函数的性质中的奇偶性、单调性”，学生通过前面几节内容的学习，对研究函数的方法有了一个更加清晰的认识，即先给出函数的定义，然后研究函数的图象，最后得到函数的性质，事实上这种研究方法是我们在一直采用的方法.有了前面的研究经验，加之有些函数的图象并不好画，因此本节我们从一个新的角度研究正切函数,先研究它的性质，在对性质有了一个初步了解后，再来研究函数的图象，最后利用图象验证我们之前所得到的性质，本节给出了研究函数的另一种方法.例题的编写意图：这是一个与复合函数有关的问题，是对正切函数性质的深入应用.学生在求定义域时容易想到换元法，让“新元”落在正切函数的定义域内解出自变量x的取值范围；关于该函数的周期学生有了前面求正弦型函数周期的经验，利用类比的方法猜想T，接下来需要利用周期函数的定义验证这一猜想；本例题比较难处理的地方是单调1x)，x[2,2]的增区间的求法，这使得学生对方法的接受变得自23性，教材为了化解难点，在必修一研究了复合函数单调性的判断方法，在上一节的例5给出了函数ysin(然.课后习题正切函数的性质及其图象的应用，针对性强.二、学情分析

学生在初中学习了简单的一次函数、二次函数、反比例函数，进入高中以后又学习了指数函数、对数函数、幂函数，还有前两节学习的正弦函数、余弦函数，我们在学习这些函数的时候都是先研究函数的图象，在由图象得到函数的性质.但是在学习过程中，他们会遇到某些函数的图象并不容易直接作出的情况，此时就需要有一种新的研究方法出现，即本节的研究方法，先研究函数的性质再研究函数图象.有了前面三节课的研究经验，学生容易想到从两域三性的角度研究.首先通过探究（几何画板演示）获得正切函数的性质，接下来采用类比的方法利用正切线作正切函数在(,)上的图象，结合正切函数的周期性得到正切22函数在整个定义域上的图象，最后利用图象讨论函数的性质.学生在例题的接受上可能会存在较大的困难，结合之前学习的正弦型函数的周期及单调区间的求法再来理解本例题会变得更加容易.三、教学目标分析

知识与技能：

1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性和值域等基本性质及正切函数的图象；

ππ 2.了解用正切线作正切函数在(-,)内的图象.22过程与方法：

1.通过探究（观察-猜想-验证）获得正切函数的性质,体会数形结合的数学思想； 2.利用类比的方法获得正切函数的图象； 3.讲解例题，总结方法，巩固练习.情感态度与价值观：

1.通过几何画板演示，引发学生的学习兴趣；

2.创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度，增强学生的探究意识；

四、教学重点、难点分析

教学重点：

1.正切函数的性质的探究；

2.利用正切线作正切函数的图象.教学难点：

正切函数性质的应用（例题）.五、教学支持条件分析

为了更加直观地突出重点、突破难点，激发学生的学习兴趣，本节课以几何画板为依托，对正切函数的性质逐一探究，并利用正切线作出正切函数的图象，让学生体会“类比”的方法及“数形结合”的数学思想.六、教学方法分析

本节采用引导探究、讲练结合的教学方法，通过几何画板演示让学生发现规律、提出猜想、验证猜想，经历问题解决的过程，体会研究问题的方法.通过老师分析例题，加强学生分析问题的能力.七、教学过程

（一）复习引入

1、研究正弦函数、余弦函数的方法是什么？ 师生活动：共同回忆之前研究函数的方法.设计意图：之前研究函数的方法是先给出定义然后研究图象，再由图象得函数的性质.本节采用的研究方法是先研究性质再研究图象，提供了研究函数的另一种方法.2、正切函数是如何定义的？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生回忆正切函数的定义.设计意图：为接下来性质的探究做好准备.（二）新课讲解

探究

（一）正切函数的性质

知识探究1 正切函数的定义域

问题1 研究一个函数，我们需要先考虑它的什么性质？

师生活动：教师利用几何画板演示角x终边的情况，学生思考x的取值范围并得出结论，教师在几何画板上展示定义域在x轴上的分布情况.设计意图：研究函数需优先考虑定义域，学生观察图象不难得出定义域关于原点对称，为后面研究函数的奇偶性作准备.知识探究2 正切函数的周期性 问题2 正切函数是周期函数吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.通过学生自主观察、发现，激发学生的研究兴趣.2.为探究

（二）作正切函数的图象作铺垫.知识探究3 正切函数的奇偶性 问题3 正切函数具有奇偶性吗？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、思考并给出初步结论，利用诱导公式验证自己的结论.设计意图：1.复习判断函数奇偶性的方法.2为探究

（二）作准备.知识探究4 正切函数的单调性 问题4 正切函数的单调性如何？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：1.通过层层设问，获得正切函数单调区间的表示形式，明确函数图象的特征，为画函数图象作准备.2.复习正切线的定义，为接下来的研究作铺垫.知识探究5 正切函数的值域 问题5 正切函数的值域是什么？

师生活动：教师利用几何画板演示，学生观察、分析、给出结论

设计意图：通过几何画板演示明确函数的值域，并强调正切函数没有最值.探究

（二）利用正切线作正切函数的图象

问题6 通过对性质的研究，你认为我们应该如何作出正切函数的图象？ 师生活动：教师展示研究成果（五条性质），学生思考.设计意图：让学生明确：欲研究正切函数在定义域内的图象，只需研究它在一个周期内的图象，结合奇偶性只需研究(,)上的图象.22问题7 如何作出正切函数在(,)上的图象？ 22师生活动：教师利用几何画板演示“利用正切线作正切函数图象”的过程，学生观察、回忆、对比，获得图象的直观认识.设计意图：1.让学生类比正弦线作正弦函数图象的方法，作出正切函数在(,)上的图.2.22体会数形结合的数学思想.问题8 如何得到正切函数的图象？

师生活动：教师演示平移后的图象，学生观察获得对图象的整体认识.设计意图：1.再一次体会图象的特征，从图象的角度验证函数的性质；2.给出正切曲线的定义.问题9 正切函数的对称中心是什么？

师生活动：教师演示正切曲线绕(k,0),kZ和(现与原图象重合.设计意图：给出正切函数对称中心的表达形式.2k,0),kZ旋转180，学生观察发

（三）例题讲解

例1 已知函数ytan(2x3)

（1）求出函数的定义域、周期和单调区间；（2）试作出函数的简图.师生活动：教师分析题目特点，明确解题方法.设计意图：加强对正切函数性质的应用

练习：求函数ytan(1x)的定义域、周期和单调区间.24师生活动：学生练习，教师巡视，展示学生的学习成果.设计意图：加强对方法的使用，掌握这类题的解法,巩固正切函数的性质.（四）课堂总结

1.正切函数的性质： 2.正切函数的图象： 3.数学思想与方法：

（五）作业布置与思考

1.作业：教材46页A组：6,7,9 2.思考：（1）如何证明正切函数的最小周期为？

（2）如何证明正切函数在(,)上是增函数？