人教版数学高二年级《椭圆的一些有趣性质及其应用》教学设计[1]_椭圆简单性质教学设计

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椭圆的一些有趣性质及其应用

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山西临汾三中

李峰泰

教材中只介绍了椭圆的一些基本性质．在实际中，椭圆还有一些有趣的性质．探讨这些性质，不仅可以丰富解题思路，而且还可以培养我们的创新意识，在学习过程中会有所发现．本文介绍几个性质以示抛砖引玉．

一、椭圆上点对两焦点张直角的性质

Ｐ是椭圆b2x2a2y2a2b2(ab0)上的一点，Ｆ１、Ｆ２是左、右焦点，Ｏ是椭圆中心，e是离心率，ＯＰ的倾斜角为α，则∠Ｆ１ＰＦ２＝

９０°的充要条件是sin1ee22．

证明 如图，在△Ｆ１ＰＦ２中，∠Ｆ１ＰＦ２为直角的充要条件是OP∵F1F22c,OPc.F1F22（平面几何定理）

设Ｐ点坐标为（x,y），则xOPcos,yOPsin,即xccos,ycsin，代入椭圆方程得：

bccosacsinab,cos1sin 2222222222∴整理得c2(a2b2)sin2b2(a2c2)

bc2444即sin2,[0,)

∴sinbcaccx22221ee22．

例１ Ｐ是椭圆△ＰＦ１Ｆ２的面积． 4y21上的一点，Ｆ１、Ｆ２为两焦点，若∠Ｆ１ＰＦ２＝９０°，试求

解 设ＯＰ的倾斜角为α，又知eF1F2OPsin2234，代入可得sin13．

13∴SPFF122ccsin2csin321

二、椭圆准线上点对长轴顶点视角的性质

椭圆bxayab(ab0)准线上的点对其长轴两顶点的视角为α，若椭圆的离心率为e，则α是锐角且sin≤e． 222222 —1— 证明 如图，设Ｐ在x轴上方，坐标为(ya2a2c,y)

kPA1,kPA2ya2ca,ctga

222kPA2kPA11kPA2kPA12acyabcy22∵y0,tg0,为锐角．

整理为y的方程c2y22ac2ctgaya2b20 ∵此方程有实根，∴Δ4a2c4ctg24a2b2c20

ca22∴cctgca0,ccsca,sin∵α为锐角，∴sine． 例２ Ｐ是椭圆的最大值．

解 ∵a2,b3,c1,e121222222222e,2x24y231右准线上的一点，点Ｐ对此椭圆左右两顶点Ａ１、Ａ２的视角为α，求α

6由题设及性质得sinesin

又知α为锐角，∴α的最大值为

三、椭圆中心点张直角的性质

6．

若椭圆bxayab(ab0)上有两点Ａ、Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ，则原点到弦ＡＢ的距离dabab22222222．

2证明 如图，设∠ＢＯＸ＝α，则∠ＡＯＸ＝0,A点为

＋α，设ＯＢ＝m＞0,OA=n＞（－nsin,ncos)，Ｂ点为（msin,mcos），代入椭圆方程整理得

1m2acosbsinab222222,1n2bcosasinab222222,—2— 1m21n2abab2222,ABOA2OB222mn

由等面积法得dOCmnmn2211m21n2abab22

例３ 直线ykx1与椭圆坐标原点．

解 a＝２，b22x242y21交于Ａ、Ｂ两点，当k为何值时，以ＡＢ为直径的圆通过，∵ＡＢ为直径的圆过原点，∴ＯＡ⊥ＯＢ，由性质及原点到直线距离公式得

dk12212212,解之得k52．

4

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