“函数的单调性”优课教学设计_函数单调性的教学设计

“函数的单调性”优课教学设计由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“函数单调性的教学设计”。

“函数的单调性”微课教学设计

杜小平

罗定实验中学

一、教学目标：

1、知识与技能目标：让学生理解增函数和减函数的定义，能根据定义证明函数的单调性；并能根据函数图像说出函数的单调区间。

2、过程方法与能力目标：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合、类比等数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3、情感、态度与价值观目标：体会感悟数形结合、归纳、类比的重要数学思想。

教学目标：

（一）知识与技能目标

1、理解增函数、减函数的概念及函数单调性的定义

2、会根据函数的图像判断函数的单调性

3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数

（二）过程目标

1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力

2、通过利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理 能力的培养

（三）德育目标（情感、态度和价值观）

1、通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，分析归纳，严谨论 证的良好习惯

2、通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣，学生通过积极参 与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学 的自信心

二、教学的重点和难点

重点：函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性；

难点：归纳并抽象出函数单调性的定义，根据定义证明函数的单调性。

三、教学过程设计创设情境，引入课题

如图为广州市某一天内的气温变化图：

师：从左到右观察这个气温变化图，哪些时段温度升高？哪些时段温度降低？从4点到14点气温上升，从0点到4点和14点到24点气温降低。除此之外，我们还能得到什么信息？

师：我们可以从图中看到温度随时间不断在变化，而且从图上可以看出在某时刻的温度。下午两点时达到最高温度10℃，凌晨4点达到最低温-4℃。

师：一个图赋予我们很多有用的信息。我们的生活经常可以看到这些类似的图形。比如股票行情图，双色球中奖号码的频率分布折线图。水位变化、心电图、燃油价格变化图、国家GDP变化图等等，生活中这样的例子比比皆是，可见我们的生活与数学息息相关，随处可见。这些数据的变化，用函数的观点来看，其实就是随着自变量x的变化，函数值y是变大还是变小的情形。函数图象的上升和下降趋势反映了函数的一个重要性质--函数的单调性。借助图象，直观感知

2师：那么，如何研究函数图象的“上升”、“下降”呢？首先观察两个函数yx

2、yx的图象，它们的图象趋势有什么特征？

2师：函数yx2的图象从左到右是上升的。函数yx图象在y轴左侧下降，右侧上升。

师：函数图象上升，通常我们会说y随x的增大而增大。那么如何利用数学符号语言描述“y随x的增大而增大”和“y随x的增大而减小”？

师：现在我们以函数yx2(x0)为例。大家一起来观察函数图象中的x值与f(x)值的变化过程，你觉得x与f(x)之间有什么样的变化联系？

师：随着x值的增大，相应的f(x)值也增大。这种随着x值的增大，相应的f(x)值也增大的函数，我们称为增函数。类似的，观察函数yx2(x0)图象，这种随着x值的增大，相应的f(x)值越来越小的函数，我们称它减函数。

师：函数单调性反映函数值随自变量变化的增减情况。不过，我们刚才的认识是从图象的角度得到的，只是对函数单调性的直观、描述性的认识。归纳探索，形成概念 3.1 概念的语言描述 师：那么，函数y2究竟是增函数还是减函数？ x（xR）师：是增函数？是减函数？还是既是增函数又是减函数？

师：这个函数图象的确有增有减。注意到要分情况考虑。哪种情况增，哪种情况减？函数yx2在左边的图象是减函数，在右边的图象是增函数。刚才我们提到x值增大时y的变化。主要是相对x轴正方向来研究图象从左到右的变化。也就是在(,0)上y随x的增大而减小，在(0,)上y随x的增大而增大。当x(,0)时，函数y x2为减函数，当x(0,)时，函数yx2为增函数。师：函数的单调性与x的取值范围有关。函数yx2不是在整个定义域R上是单调函数，而是在定义域R上的某个子集，比如在(,0)、(0,)上是单调函数。所以说单调性是函数的局部性质。师：想一想，函数的单调性如何下定义呢？

师：在区间D上，随着自变量x值的增大，函数f(x)值越来越大，我们称函数y=f(x)在该区间D上为增函数，该区间D叫做函数f(x)的增区间。反之叫做减函数，区间D为减区间。

3.2 概念的符号表征

师：刚才从图形上已经得出函数y这个函数是增函数呢？

师：能否取两个数？比如当x=1时，y=1，当x=2时,y=4，所以y x2在(0,)上为单调递增函数。

x2在区间(0,)上为单调递增函数。如何从“数”的角度证明这样说是否恰当？我们知道，特殊不能代表一般。所以这样取是错误的。取得数要能代表“所有数”。怎么才能体现区间上的所有值呢？举个例子，全国召开人民代表大会，是不是所有老百姓都参加？派代表，所以我们考虑用字母代数吧。一般选x1和x2为区间上的任意两个数。函数为增函数，应当f(x1)f(x2)。

3.2.1 给出函数单调性的定义：

对于函数yf(x)，如果对其定义域I内的某个区间D上取任意两个自变量值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是增函数，如图（1）。

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数yf(x)在区间D上是减函数，如图（2）。

师：任意x1,x2[0,)且x1x2，证明f(x1)f(x2)是增函数。师：如何研究f(x1)f(x2)？

xx2(x1x2)(x1x2)0，师：作差。f(x1)f(x2)1因为22所以x1x20，且x1x2，x1,x2[0,)，22即x1x20 所以x1x20,即f(x1)f(x2)，所以f(x)x2在[0,)上为增函数．

证明函数单调性的步骤：

① 任取x1，x2∈D，且x1

作差f(x1)－f(x2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）○； 4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）○；下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）○．

取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。那么现在可知判断函数单调性的两种方法：根据图像观察,根据定义证明。

3.2.2 概念辨析、判断正误。这个函数的定义域是什么？ 思考：反比例函数y的图象． ○

x它在定义域I上的单调性怎样？ ○1．如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数的图象，根据图象说出是增函数还减函数。

四、课堂小结，知识梳理

1、增、减函数的定义。

函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。

2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明。

3、函数单调性证明的步骤：取 值，作 差，变 形，定 号，下结论。