一堂立几习题课的教学设计由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“习题课的教学设计”。
一堂立几习题课的教学设计
房之华
【专题名称】中学数学教与学 【专 题 号】G35
【复印期号】1999年05期
【原文出处】《中学数学研究》(南昌)1999年03期第8～10页 【作者简介】房之华，苏州大学附属中学 215006
数学习题课是容易上但又很难上好的课。一堂出色的习题课，应当是融知识的复习与能力的培养为一体，充分挖掘习题潜在的智力功能，去激发学生学习数学的兴趣，培养学生的思维能力和勇于探索的精神。变被动的学习为主动的进取，通过自身的力量去获取知识，形成良好的学习习惯。因此，我们在习题课的教学方案设计时，要花一番功夫。若只为解题而解题，一堂课容纳大量的习题，势必造成学生在学习上的消化不良。更重要的是，既发挥不了习题的作用，又扼杀了学生智力的开发和能力的培养。这就要求我们在设计习题课的教案时，要精心设计，全面考虑。下面给出一堂习题课的案例，供同行参考和评析。
课题：一道立几命题的证明与探究
教学目的：通过本堂课的教学，熟练掌握证明直线与直线垂直的方法，学会探索解题思路的方式手法，善于挖掘习题的智力功能，养成解题后反思的习惯，灵活应用知识于解题之中。
教学过程：
一、问题的解决
（课堂一开始用投影仪将问题放映到黑板上）
[问题]如图，在正方体ABCD-A[，1]B[，1]C[，1]D[，1]中，棱长为a,M、N分别为AD[，1]和A[，1]C[，1]的中点，求证：AD⊥MN。
思维从问题开始，教师引导学生探索其解题思路。
师：若联想异面直线所成角的定义，本题该怎样证明呢？
生：须先寻找AD与MN所成的角，然后证明AD与MN成90°角。
师：怎样寻找角呢？
生：联想异面直线所成角的定义，如图1，分别取DD[，1]、C[，1]D[，1]的中点E、F，连结ME、EF、FN，构造平行四边形MNFE，则∠FEM就是AD与MN所成的角。
由线面垂直的关系，容易证明∠FEM=90°。
师：还可以怎样找角？
生：过MN上一点M（或N）在面AD[，1]内作ME∥AD交DD[，1]于点E，则E为DD[，1]的中点，故∠EMN为AD与MN所成的角。（如图2）
师：若采用此法，该怎样证明？
生：可构造三角形MNE，使用余弦定理或勾股定理的逆定理证明。
师：这种证法有什么缺点？
生：计算太繁。
师：若联想三垂线定理，该怎样思考呢？
生：必须构造三垂线定理的模型，寻找MN在某一个平面上的射影，方法又有多种：
其一：（如图3）连结AC，过N作NF⊥AC，则NF⊥平面AC，同理过M作ME⊥AD，得ME⊥平面AC，故EF为MN在底面AC上的射影，从而问题便转化为证明AD⊥EF。通过观察，只要证明△AEM≌△AEF即可，这由已知条件容易证得。
其二：（如图4）过N作NE⊥A[，1]D，则NE⊥平面AA[，1]D[，1]D，连ME，则ME为MN在平面AA[，1]D[，1]D上的射影。从而只要证明AD⊥NE，即证A[，1]D[，1] ⊥NE即可。这由△A[，1]EN≌△D[，1]EM不难证得。
其三：也可以过M作ME⊥A[，1]D[，1]，证明AD⊥EN，即证A[，1]D[，1] ⊥EN即可。
学生还可能会给出其它构造图形的方法。
师：若联想到线面垂直的定义，该如何思考呢？
生：必须经过AD或MN中的一条作一个平面，设法证明线面垂直即可。如图5，过MN作平面EGFH，只要证明AD⊥平面EGFH即可。只要证明AD垂直平面EGFH内两条相交直线即可。
二、问题的变换 解题后的探究是培养学生创造能力的重要手段，在学生给出上述问题的证明之后，继续引导学生将问题进行变换，探索变换后新问题解决的门径，从而培养思维的灵活性与深刻性。
师：如果把题设中M、N分别为AD[，1]和A[，1]C[，1]的中点的条件变换为AM=A[，1]N，那么AD与MN还互相垂直吗？请同学们思考。（要求学生在独立思考的基础上进行讨论）
通过学生的探索，可得出如下的结论：
生：把特殊情形变换为一般情形，结论仍然成立。证明的方法同前面大致一样。
若采用图1的思路，在证明EM=FN时，不是根据中位线定理或全等三角形，而是利用平行线截线段成比例定理证之。
若采用图3的思路，在证明AD⊥EF时，可通过△AEF与△AEM相似证得。
若采用图4的思路，在证明A[，1]D[，1] ⊥EM时，可通过△A[，1]NE与△D[，1]ME相似证得。
若采用图5的思路，在证明AD⊥平面EGFH时，可通过△AEM∽△A[，1]HN证得。
（通过对问题的探讨，可以发现，前者是后者的特殊情形，后者具有一般性。而且问题的本身渗透着辩证的思想：“动中有静”。即动点M、N在面对角线AD[，1]与A[，1]C[，1]上运动时，只要满足A[，1]N⊥AM，则AD与MN的关系是不变的。）
师：若M、N为AD[，1]与A[，1]C[，1]上的任意两点，则AD与MN所成角的范围是多少？请同学们思考。（教师给予适当的提示：用动态的思想，通过直觉思维打开解题思路）
生：通过观察，若把N固定在A[，1]点上，让M从点A运动到点D[，1]，则发现直线AD与MN所成的角从90°逐渐减小到0°，故AD与MN所成角的范围是0°≤α≤90°。
三、问题的功能
1.深化概念的理解和应用
通过对上述问题的研究可进一步复习立几与平几中的许多概念。如：两条异面直线所成的角；线线垂直与平行、线面垂直与平行、面面垂直与平行的判定定理和性质定理；三垂线定理及逆定理；三角形全等与相似的判别方法；平行四边形的有关性质等等。虽然只是一道题，但是涉及到的知识面很广，在授课过程中，有意识引导学生复习相关的概念，并做到灵活应用，深化理解。
2.寓能力培养于解题过程之中 在证明过程中，多处用到了构造的思维方式。如构造平行四边形，构造直角三角形，构造三垂线定理的模型，构造平面，构造直角梯形等。这是建模思想在解题中的应用，从而可以培养学生创造性的思维能力。
化归的思想在证题过程中表现得尤为突出。如将证明线线垂直的问题向两条异面直线所成的角为90°转化；向共面的两条直线垂直的问题转化；向射影转化；向线面垂直的问题转化；向代数问题转化，利用余弦定理或勾股定理等去解决。通过转化，使问题变得明朗化、简单化。
本课从一个简单的问题出发，由浅入深，由易到难地变换出更多的命题让学生去探讨，一方面可以复习到更多的知识点，另一方面可以培养学生勇于探索的精神，同时使学生的思维品质得到训练。
在探索问题的过程中，采用了动态的思想研究图形的变化规律，在“动”中求“静”，需要仔细的观察，通过对图形的观察和想象，可以培养学生的观察能力、空间想象能力、直觉思维能力和树立学生的辩证唯物主义的哲学思想。
本课的教学方法采用的是启导探索法。在教师的启发引导下，由学生自己探索问题的结论。让学生走上讲台，讲解和讨论问题。这样做充分发挥了学生的主体作用，调动了他们学习数学的积极性，激发了他们学习数学的兴趣。
