高二数学教案：9.3直线和平面平行与平面和平面平行_高二数学直线与平面

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【课

题】直线和平面平行与平面和平面平行(2)【教学目标】

进一步理解、掌握直线和平面平行的判定与性质；以及它们的应用。

【教学重点】两个平面平行的性质.【教学难点】性质定理的正确运用.【教学过程】

一、复习引入

1、直线与平面平行的判定定理：如果不在平面内的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。即：线线平行，则线面平行。

2、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。即：线面平行，则线线平行

二、例题讲解

【例1】（课本20页习题4）求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，这条直线和它们的交线平行.llbcaa

已知：面α∩面β=l，a∥α，a∥β,求证：a∥l.证明：设过a的平面γ交α于b，过a的平面δ交β于c.过a的平面δ交β于c。

a//,a,从而b//平面，b,a//b，同理a//c，所以b//c

所以b//l，所以a//l

【例2】 正方体ABCDABCD中，E，G分别是BC、CD的中点，求证：EG//平面BBDD

证明：取BD的中点F，连结EF、DF，因为E为BC的中点，所以EF为ΔBCD的中位线，1则EF//DC，且EFDC，2因为G为CD的中点，所以DG//CD,且DGD'A'GB'C'1CD 2DABEC所以EF//DG,且EFDG 所以四边形EFDG为平行四边形，所以DF//EG，而DF平面BDDB,EG平面BDDB 所以EG//平面BBDD

【例3】 设a、b是异面直线，A∈a, B∈b, 过AB的中点O作平面α，使a∥α，b∥α，M、N分别是a、b上的点，MN与α相交于P点，求证：P是MN的中点.证明：连AN交平面α于Q点，连OQ，PQ，则OQ//BN，PQ//AM，因为O为AB的中点，所以由OQ//BN可知，Q为AN的中点，OPAaMAaMbBNObBPQN

又由PQ//AM可知，P为MN的中点。

【例4】 已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO.∵四边形ABCD是平行四边形 ∴O是AC的中点 又M是PC的中点 ∴MO∥PA

又MO面BDM、PA面BDM.∴PA∥面BDM.又经过PA与点G的平面交面BDM于GH.∴AP∥GH.PMDAHGCB

三、课堂练习

1、如图，线段AB、CD所在直线是异面直线，E、F、G、H分别是线段AC、CB、BD、DA的中点；（1）求证：E、F、G、H共面并且所在平面平行于直线AB、CD；（2）设P、Q分别是AB和CD上的任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分。证明：（1）略

（2）设PQ平面EFGHN，连结PC，设PCEFM，PCQ所在平面平面EFGHMN；

EPMCFQGBNDAHCQ//平面EFGH，CQ平面PCQ，CQ//MN EF为ABC的中位线，M为CP的中点，则N为PQ的中点，即PQ被平面EFGH平分。

2、两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，M、N分别在它们的对角线AC、BF上，且AM=FN，求证：MN//平面CBE

证明：分别过M、N作AB的平行线交BC于G，交BE于H，连GH，从而MG//NH。又因为AM=BN 所以CM=BN，所以MGCMBNNH,EFAB ABCABFEF

DMCGBHNAFE

所以MN//GH,GH平面CBE

MN//平面CBE

四、小结

五、课外练习

1、（课本20页习题5）已知a、b是异面直线，求证：过b且只有一个平面和a平行。

证明；存在性

在直线b上取一点A，过A作直线a//a,则a和b 是相交直线，它们确定一个平面。

a//a,a,a,a//。因此过b 存在一个平面与

αγaa1Aa2a平行。唯一性

如果平面β也是过b 且与a平行的平面。过去时工和A作平面γ，设a，则a过A且平行于a，因为在同一平面γ内，a与a都过A且平行于a，所以a与a重合。

即平面β也是由b与a所确定的平面。所以β与α重合。

因此过b有且只有一个平面和a平行。

2、如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ.（1）求证：MNPQ是平行四边形；

（2）如果AC=BD=a，求证：四边形MNPQ的周长为定值；（3）如果AC=a,BD=b,AC与BD成θ角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置.证明：（1）因为AC//面MNPQ，过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC//MN，同理AC//PQ，由平行公理得MN//PQ，同理可证MQ//NP，所以四边形MNPQ是平行四边形.（2）因为MN平行于AC，所以又AC=a，所以MN=因为MQ//BD。所以BM=a，BAMNBM，ACBAMQAMAM=。又BD=a，所以MQ=a，BDABABBMAM）=2a（定值）BAAB所以四边形MNPQ的周长=2（MN+MQ）=2a（（3）设AB=l（l为定值）AM=x（0＜x＜l）

由（2）知：NP=MNAMxbbbx ABllBMlxaaa(lx)BAll∵MN∥AC,NP∥BD

∴∠MNP是AC、BD所成的角，即∠MNP=θ.设平行四边形MNPQ的面积为S.则S=MN·NP·sinMNP

baababl2l22x(lx)sin2(lxx)sin2[(x)]sin ll24ll∴当x=l，即M为AB的中点时，S最大 2absinθ.4最大值为