完全平方公式教案 (3)_完全平方公式教案

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完全平方公式在代数、几何中的两点运用

完全平方公式是中学阶段运用较为广泛的一个公式.除了在一般计算过程中直接运用完全平方公式外，在一些代数、几何问题中，还会利用其进行解题，这也是各年中考中的一个必考知识点.另外，在公式的一些使用过程中，还结合了整体思考的数学思想，同时还对学生的逆向思维提出一定要求.主要体现在以下两个方面.一、利用完全平方公式结合整体转化思想求代数式的值.有一类

例1 已知a2b21,ab分析：要求(ab)4，直接求

12，求(ab)4的值.a,的值有一定的困难，因而可利用整体思想，设法求出(ab)2，结合题目条件a2b21，只需求出ab值.解：把aba2abb2212两边同时平方，得

34又因为a2b21，所以2aba2abb422

21491634 即(ab)74

所以(ab).22例3 已知x3x10，求（1）x1x2；（2）x1x41x4.分析：观察所求代数式的特征，x21x2可由x1x平方后整理得到.因而解题的关2键在于利用题目条件x3x10求出代数式x的值.此处，再次利用了整体思考的数学思想.解：把x3x10两边同时除以x，得

x31x0，即x1x3.2把x21x3两边同时平方，得 1x1x2x2x9，即 x21x27

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再把x2421x27两边同时平方，得 1x2x2x1x21x449，即x441x14447.47.所以（1）x2（2）x7；

x

二、利用完全平方式判断三角形形状

例4 已知三角形的三边a,b,c满足a2b2c2abacbc0，请你判断这个三角形是什么三角形.分析：判断形状的三角形一般都是特殊三角形，而进行判断的关键是分析角或边的关系.本题所给的条件和边有关，因而可把目标定为证明边相等，即证明等腰或等边三角形.结合条件的形式，联想到完全平方式的非负性，从而可利用完全平方公式进行证明.解：由a2b2c2abacbc0两边同时乘以2，整理可得

a22abb22a22acc22b22bcc20

所以abacbc0

2因为ab≥0，ac≥0，bc≥0 222所以ab0，ac0，bc0 222所以ab,ac,bc 即 abc.所以这个三角形是等边三角形.例5 已知a,b,c是ABC的三边长，且a2bc2bac0，判断ABC222的形状.分析：与例4相类似，也是利用完全平方公式将条件进行变形，从而得出三角形三边的关系.解：由a2bc2bac0变形，得 222a22abb22b22bcc20

2所以abbc0

因为ab≥0，bc≥0 22www.daodoc.com

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所以ab0，bc0 22所以ab,bc 即 abc 所以ABC是等边三角形.www.daodoc.com