微分几何教案 第七讲_微分几何教案第一讲

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具体如下：

取M上的向量场X，对给定的xM,有

*(x)T于是X(x)TxM，xM为关于X的齐次线性函数，有

(X)(x)(x)X(x),xM.对f,gC(M)和X,YX(M), 有

(fXgY)f(X)g(Y).下面设1,,pT*M（即1-形式），X1,,XP为M上的向量场。

d(1p)(X1,,Xp)(p)(1)S()1(Xi1)p(XS()(i1ip)(1)1(Xi1)p(Xip)det(i(Xj)),其中(p)是1,2,,p的置换群，即Sp,{i1,,ip}(p),S()是的逆序数。一般地，设

i1ipai1ipi1ipi1ip(X1,,Xp)

ai1ipi1ip(X1,,Xp).1

并且，设和分别为M上的p形式和q形式，则

()(X1,,Xpq)(1)S()(X(pq)i1,,Xip)(Xip1,设U,U是M上x处的两个坐标邻域，它们的局部坐标分别为xi和xj。设M上的p形式(x)在这两个局部坐标系中分别表示为

(x)aiip1ip(x)dxi1dxii1pb

jjp1jp(x)dxjj1dxj1p.则有坐标变换公式：

b(xi1,,xip)j1jp(x)(xaii1ip1ip(x).j1,,xjp)

三、外微分

对流形M上的0-形式f（即函数fC(M)），由函数的微分，有

df(x)nfdxi1xi,i 2

Xipq,为M上的1-形式，上式表明，“d”是F0(M)到F1(M)的映射。下面将“d”推广为Fp(M)到Fp1(M)的映射。df

定义：设U为流形M上含x的坐标邻域，局部坐标为xi。如果M上的p形式在U中写成(x)iai1ip(x)dxi1dx1ip则定义外微分如下：

dd(x)dxidai1ipi1dxip1ipani1ip(x)i1ipj1xdxjdxij1d:Fp(M)Fp1(M)d

性质：

① 对,Fp(M),1,2R有

d(12)1d2d.② 对Fp(M),Fq(M),有

d()d(1)pd.ip,dxip.r③ dd0,即F(M),都有

d(d)0.③ 当pn时，对

Fp(M),必有 d0.例 考虑R3，取它的直角坐标系(x,y,z),则R3上所有微分形式为

0形式：0f(x,y,z),fC(R3).1形式：1adxbdycdz,a,b,cC(R3).2形式：

2adydzbdzdxcdxdy,a,b,cC

3形式：3adxdydz,aC(R3).分别求它们的外微分。庞卡莱引理及逆命题

定义： 设M是n维微分流形，Fp(M)。如果d0,则称为闭微分形式（简称闭形式）。如果存在Fp1(M)使得d,则称为恰当微分形式（简称恰当形式）。显然有

(R3).定理（Poincare引理）设是M上的p形式且是恰当的，则必是闭形式。定理（Poincare引理的逆命题）

是U上的p形设开集UM可收缩为一点，式，若是闭的，则是恰当的。

对偶映射

定义：设M,N分别为m维和n维微分流形，F:MN是C映射。定义映射

F*:FP(N)FP(M),(0pn)F()*

使得对任何xM,X1,,XpTxM有

(F*())(x)X1,,XP(F(x))F*(x)X1,,F*(x)XP

其中F*即dF，是F的微分。F*称为映射F*的对偶映射。性质：

⑴ F*是线性的，即对1,2FP(N)，有

F*(1122)1F*(1)2F*(2).⑵ 对,Fp(N),有

F*()F*()F*().⑶ dF*F*d，即对Fp(N)有

d(F*)F*(d).⑷ 若 F:MN,G:NP是C的，则

(GF)*F*G*.局部地，设(U,)和(V,)分别为M和N上包含x和yF(x)的坐标图，F(U)V,局部坐标分别为xi和yj。如果设

(y)ai1ip(y)dyi1dyip,i1ip则

F()(x)ai1ip(F(x))*i1ipj1jpdxj1dxjp.(xj1,,xjp)(yi1,,yip)§5.8 流形上的积分

一、体积元与可定向流形

设 x1,,xn是Rn的一个直角坐标系e1*,,en*为xi方向的单位向量构成的一个有序标准正交基，取Rn的一个n形式：

dx1dxn,显然

(e,,e)det(dxi(e))1.*1*n*j它给出以e1*,,en*为边构成的n维正立方体。一般地，若e1,,en是Rn的任一个有序基，则

于是

可将之视为以“有向e1,,en反）”。如R2上，取一般地，在e1,,en

enia1ije*j.j

(e1,,en)(dx1dxn)(e1,,en)det(dxi(ej))det(aij).(e1,,en)为边的平行多面体的积”。若det(aij)0(0)则称基底e**1,,en的“定向相同（相dx1dxn称为Rn的标准体积元。e1(1,0),e2(0,1).（如图示）

e1'e2,e2'e1.[ee011',2'][e1,e2]10, det(aij)10.n维实向量空间V上任取两组基e1',,en'，它们的关系为

ej'aijei,j1,,n.体与标准基及或

e',,e'e,,e[a].1n1nij定义等价关系：

e1,,en~e1',,en'det(aij)0.这样就可将V的所有有序基分为两个类，称之为V的定向。同一等价类中各元的定向相同，不同的等价类的元之间的定向相反。如 R3中，{i,j,k}代表的右手系习惯称为正定向，而{i,k,j}代表的左手系为反定向。又如Rn中1,n确定它的一个标准定向流形的定向。

定义：设M是n维微分流形，(U,)是M的一个图集。若该图集能确定xM的切空间TxM的定向，则称M是可定向的。M可定向xUU处雅可比行列式

xj(x1,,xn)det0.xix(x1,,xn)x并非所有的流形都可定向，如Mobius带。定义：设是M上的一个n-形式，若对xM，都有(x)0，则称为流形M的一个体形式（体积元）。可以证明：M可定向M上有一个体积元。设x点处局部坐标系x1,,xn，则TxM有自然基,,xnx1，若对xM都有(x)x,,1xn向，否则反向。定义：设M，形，其定向分别由:MN为C向相同，则称向的。

命题：设映射N分别由n-形式所定向，则



保定向流形上的积分首先考虑Rn中开集系。取切空间的基

0,则确定了流形M

N是两个已定向的n维微分流Fn(M)和Fn(N)确定，若微分形式*与是保定向的；否则称是:MN,xy(x),流形dx1dxn和dy1(y1,,yn)(x0.1,,xn)U，xi为Rn的整体坐标

x,,确定U的正方

1xn9

正

M和dyn的的定映射。反定 向，于是Rn成为一定向流形。

设f为U上一个可积函数，f(x)dx1dxn.UUf(x)dx1dxnUf(x1,,xn)dx1dxn.d

下面考虑n维可定向的微分流形M。设 (U,)是M上的一个图册，局部坐标为x1,,xn，下面用切空间上的自x,,1x确定M的定向。

n取M的开覆盖U的一个单位分解f在M上的C函数族f，满足

① 对任何及xM，有0f(x)xU时，f(x)0； ② 对 xM，仅有有限个f(x)0。③ 对 xM，f(x)1。

设是M上的一个n形式，且其支集SuppdxM|(x)0，是一个紧子集。如果对某个有Supp有U上可表示为

a(x)dx1dxn.然基，即存,且当

U,则1

定义：

UUa(x)dx1dxn(U)a(x1,,xn)dx1dxn.d

一般地，由于Supp是紧致的，可选有限个邻域U1,,Um覆盖Supp，即有

Suppmj1Uj.由单位分解fm可知f1jjSupp(fi)Uj,j1,,n.于是，定义：n形式在已定向流形M上的积分为dmmmMMfjUjfjj(Uj)fj(x)a(x)dxj1j1j11可以证明，有如下性质：

设 ,1,2是已定向的n维流形M上的有紧支集的n形式，则 ① M(12)M1M2;② MM,R;③ MM;

④ 若为M上的体积元，它确定M的正向，g(x)0 为M上的连续实函数，则

且

dxn.， Mg0

当且仅当g0上式取等号。

MM1M2,⑤ 若M1,M2为M的不相交开集，且M1,M2的定向与M一致，则

MMM.12变量置换公式：

设M,N是已定向的n维微分流形，:MN是一个保定向的微分同胚，为N上的n形式，则

*NM 特别地，当:U(U)Rn,x(x)y,（U为Rn的一开子集）是一微分同胚时，则对(U)上的可积函数f(y)有

(U)f(y)dy1dynUf((x))|J|dx1dxn.如 当n1时，:[a,b][a',b']是一C同胚，f(x)dx,则有

*[a',b'][a,b]，即

a'f(x)dxaf[(t)]'(t)dt,b'b即 经典的变量变换公式。