高中数学 等差数列(32)教案 苏教版必修5_高中数学必修五教案

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等差数列（3）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握等差数列前n项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题；

2.探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力。

二、过程与方法

1.通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感、态度与价值观

1.通过公式的推导过程，获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

2.培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。【教学重点与难点】：

重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用 难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。【学法与教学用具】：

1.学法：讲练结合2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

“小故事”：著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+„+100的故事：高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:“1+2+„100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10„算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+„+100=5050。教师问：“你是如何算出答案的？高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；„50+51=101，所以101×50=5050”

故事结束：归纳为 1．这是求等差数列1，2，3，„，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和S100

n(a1an)100(1100)，即Sn

二、研探新知

1.等差数列的求和公式（1）求和公式

（一）：Snn(a1an)（倒序相加法）2思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？

思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示Sn：

证明：Sna1a2a3an1an ① Snanan1an2a2a1 ②

①+②：2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2)(anan)∵a1ana2an1a3an2 ∴2Snn(a1an)由此得：Snn(a1an)2n(a1an)2 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式Sn注意：用上述公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,an（2）求和公式

（二）：按等差数列定义

当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：

Sna1a2a3...an=a1(a1d)(a12d)...[a1(n1)d]

n(n1)d 2n(a1an)这两个公式是可以相互转化的。把ana1(n1)d代入Sn中，就可以得

2n(n1)到Snna1d

2=na1[d2d...(n1)d]=na1[12...(n1)]d=na1注意：此公式要求Sn必须具备三个条件：n,a1,d（有时比较有用）公式二又可化成式子：Snd2dn(a1)n，当d0，是一个常数项为零的二次式，22有关前n项和得最值问题可由此公式解决

总之：两个公式都表明要求Sn必须已知n,a1,d,an中三个

说明：（1）等差数列的前n和等于首末两项和的一半的n倍；

（2）在等差数列前n项和公式及通项公式中有a1，an，n，d，Sn五个量，已知其中三个可以求出另外两个。

引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道a1和n，不同点是第一个公式还需知道an，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1（教材P40例1）在等差数列an中，（1）已知a13，a50101，求S50；（2）已知a13，dn；

1，求S10。21315例2（教材P40例2）（1）在等差数列an中，已知d，an,Sn，求a1及

222（2）在等差数列an中，d1，n37，Sn629，求a1及an 33a1215n(1)1解：（1）由题意，得2 由（2）得：a1n2 代入（1）2213(2)a1(n1)22得n27n300，∴n10,n3（舍去），∴a13

137(371)3629(1)a11137a1（2）由题意，得 解得：  2a23n1(2)ana1(371)3例3（教材P40例3）在等差数列an中，已知第项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和。

S10310解：设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意，得

SS910201010910ad310a1412即： 解得：

d6201920ad31091012∴ a214206124，∴a21a22a301012410961510 2-345-