环境水力学(教案)_水环境状况教案

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第一章 液体流动的基本概念和基本方程（4学时）1.1基本概念：

一．研究对象：①连续介质假定，使物理量为空间坐标和时间的函数。

②描述流体运动特性的物理量v，p，，T，C。基本特征参量。

③lagrange Method（拉格朗日）

Euler Method（欧拉）

④两种方法研究对象不同：流体质点

空间点

流体微团

微团控制体

流体系统

控制体 二.基本参量表示法：

用两种方法表示的基本参量方法不同。

Lagrange法：标量（p，T，C）

p=（a，b，c，t）

质点迹线= （a，b，c，t）

d

矢量(a,b,c,t)

dttd

a

dtEuler法：

(x,y,z,t)d①x，y，z变，a()

dtt②附体性dxudt

dyudt

dzudt

uuixiyjzk

所以aiiui（张量形式）tujuivjwk三.迹线和流线。

dxudt

迹线：dyudt

dzudt

流线：d0

dxdydz

（恒定流时重合）uvw四.质点导数。液体质点的流动参数B随时间的变化律的欧拉法表示。也称为随体导数。

DB

B

Dt迁移变率t当地变率算子B恒定流：0

t均匀流：()B0

不可压：D0 Dt0五.任意度量中系统体积分的随体导数。

①Bd0

B为0系统体内积分。

例：

d0m

0Dm0（连续性方程积分形式）Dt（一般将其变为欧拉法形式）



22d0M(动量)

0DMF（动量方程）Dt

(e)

(e022)d0E

DEW（外力所做功）Dt

e为内能（随温度、压力变化的能量）单位质量流体所具有的内能，状态函数。

②输运方程（transport Equation）、（L-E）

EularD

dd()d 0Dt0tB

：0在t0时刻所占领的控制体。

物理意义：Dd0

系统体积分的随体导数。Dt0d0

控制体内物理量体积分（B）的当地随时变化率。t

()ddAn（高斯定理）

0

ndA从封闭面A流出的的体积分，也就是系

AA统中一个位置移动到另一个位置，由于流场的不

均匀性而改变引起的的体积分的迁移变化率。

1.2运动液体的应力和应变关系——本构方程

一.流体微团运动的分析。

1.微团运动=平移+变形（线变形、角变形）+转动 u若A点流速为：v，则距其距离为dr(dx,dy,dz)处点流速可表示为： wAuuSxxvvSyxSwwAzx平移SxySyySzy变形引起的流速增量SxzdxSyzdywdrdzSzz

转动引起的流速增量i其中wdrwxdxjwydykwzdz

1uiuj2、3

2、ij线变形，ij角变形 2.变形率张量：Sij

i

1、，j

1、2xxij变形率张量具有对称性：SijSji（6个独立）

uvwv（速度的散度）Sij称为体积膨胀率，SijSxxSyySzzxyz11角转速分量，定义为rotv（速度的旋度）

22ijk11vxiyjzk 22xyzuvw若0，无旋、有势流动，速度有势v  lvdl0（环流量=0）

存在势函数，称为流速势  满足20（拉普拉斯方程）

[区别，力有势f，力势函数，lFdl0]

二、运动流体中的应力

0p0①静止：0p0，只有压应力（负号表示与作用面外法线方向相反）0p0pxx②运动、理想液体（不存在粘性切应力）000pyy000，pxxpyypzzpm pzzpxx③粘性实际运动：yxzxxypyyzypzzxzyz，zx：x表示作用面法线方向，z表示力方向。

由于存在切应力，所以，法向应力pxxpyypzz，但pxxpyypzzconst（不因坐标变化而变），所以，引入动水压强：pm1pxxpyypzz与作用面无关，各方上压力应3'力被认为是pm加上一个附加压应力，如pxxpmpxx。

切应力具有对称性：yzzy

pmA：对于层流0L0'pxx其中yxzx0pm0'0pxx0yxpmzxxyp'yyzy'pzzxzyz

xyp'yyzy'pzzxzyz粘性附加应力张量

u'2x'B：对于紊流u'yuxtL''uzuxu'2x'其中u'yux''uzux''uxuy''uxuyu'z2''uzuy''uxuzu'yuz'

2'uzu'z2''uzuy''uxuz'u'yuz为紊流附加切应力项（混渗应力or Re应力）2'uz简写为ijtijLij

'

三、应力—应变的关系（本构方程）

1、牛顿流体

ijsnij

n=1。本构关系符合内摩擦定律，应力和应变线性关系。

非牛顿流体

n12、本构方程：各向同性、牛顿流体、层流，应力应变关系：牛顿内摩擦定律，Stokes（斯托克斯）推广。正应力：pijpm2ui

ij（不可压）xjui2pijpm2v

ij

（可压）

xj3切压力：ijji1.3 连续性方程 质量守恒 uiuj

ij xjxiDM0

（对理想、实际流体都适用）DtvndAvd

：控制体



一、积分形式：

dvndA0

t一维恒定：1v1A12v2A2

二、微分形式

v0

v：流出控制体的质量（单位时间、单位体积）tDv0 DtD0



v0

（恒定、非恒定流均可）

①不可压 DtD0



v0

（不限制压缩否）②恒定

Dt1.4 运动方程



一、微分形式：Fma

1dvv

1、ideal：Eular方程：fpvv

dtt

2、实际牛顿流体、各项同性、不可压缩、层流 N-S方程

1v2vvFpv tvvvv：惯性项。：当地变化率，vv：迁移变化率（非线性项），tt12F：质量力项，p：压强梯度项，v：粘性项。



3、对紊流，将上述方程取时均，得到（雷诺方程）

一、上述方程可以简化为：I

II

III A：恒定

I0 B：绝热

II=I0 'C：理想流体

IIIpnvdApvndA

（压力）

D：只有重力作用

F

则 IIvdzvndA AAE：不可压缩、绝热、理想、恒定、内能不变 evndA 则推出

AA Av2pv2pvndA0 一维问题的伯努利方程，（为机械能）。

22

二、微分形式：

①化面积分为体积分：

AApnvdAnvdAvd

TTn

----热传导系数 ②引入Forier定律：qnqdATndATd

AA将0去掉积分量得（1.40）

Dv2eFvvqRT

微分形式 Dt2在直角坐标系下、不可压缩，上述微分形式可简化如下：公式（1.43）

De(16项)(79项)qR DtDe----内能变化，(16项)应力做功（粘性耗散），(79项)热传导，qR辐射。Dt对大多数液体：ecvT

cv----定容比热 引入热扩散率（导温系数）

cp----定压比热

一般取cvcpc cp1-6项=

----耗散函数

则方程为：

qDT2TR DtccDT2T（有关方程柱坐标下表示，参见Dt去掉（忽略）、qR影响，即得热传导方程书，不详述）。

1.6 基本方程组的封闭问题 对于不可压缩、各项同性、牛顿流体、层流。

p方程组有5个，未知数v，p，，T（6个未知数）补充状态方程RT。

对于不可压缩液体const，所以，直接用连续运动方程求p，v后求温度场。1.7—1.8—1.9 有势流动 有涡流动 边界层概念

1、有势流动，实际流动满足何条件可简化为有势流动求解。

0 或者单连域udlndA A----涡通量，（v2）

根据kelvin’s（开尔文）定理：在有势质量力作用下，理想流体，正压条件下，（流体质点组成的封闭曲线的速度环量不随时间变化）即

0。t对于高Re流动粘性项作用可忽略，认为理想流体，由静止状态开始的流动，如重力坝泄流，圆柱绕流，闸孔出流。波浪等，可近似认为是势流。



2、势流特征：①存在势函数x,y,z,t，v

②图

③不可压势流

20

v2④基本方程0，zc（Eular方程积分）理、恒、不可压、2g2p有势（力）势流。单独变量,p。

⑤平面、不可压势流：存在流函数(x,y,z)，量纲ms 图

21满足20

求解方法：势流叠加法、复变函数法、流网法、实验法。

3、涡量满足涡量方程（推求不详细讲）。

4、边界层概念：如上所述，对高Re，N-S忽略得到Euler（物面为流线），但用此法求解平板绕流时，阻力=0，不符合实际，物面应给粘滑条件。

引入边界层概念：在固体壁面附近的一个薄层中，流速梯度变大，粘性作用必须考虑称为边界层。

流动分区：边界层内，粘性流。边界层外，理想流。

分界：引入边界层厚度概念（又分为①排挤厚度或流量损失厚度1②动量损失厚度2能量损失厚度3）。层外势流解

1构成的线为流线，解外层势流时边界条件。恒定二维、不可压缩、质量力不计（曲率小），假定L，yx，vu量纲比较，忽略

量，简化为边界层方程（1.97）、（1.80—1.81）。由边界层方程知p0 y即，边界层内法向压强基本不变，即可用边界层边界上势流解的p，所以边界层方程中p已知，只有u、v两个变量，一般数值解。

引入边界层概念目的：①解决沿程水头损失计算

②绕流阻力计算，紊动射流（边界层流动）

边界层动量积分方程（1.85）

未知数u、、0 三个未知数，一般补充ufy，0dudy（层流边界层，紊

y0流边界层不同）。

1.10 小密度差流动，Bousinesq’s近似

一、Bousinesq’s近似：密度变化的影响仅仅在运动方程的重力项中考虑对其他各项影响忽略不计。

二、小密度差流动的基本方程：

许多环境问题，由于水中加入污染物质，使密度发生变化，但这种密度差很小，严格按考虑密度变化的可压缩流体分析比较困难，常常采用Bousinesq’s假定、作近似处理。对于质量力只有重力、不可压流体、其运动方程为：

Dvpg2v Dt若,g以静止时值为参考状态，即0，pp0p代入上式，并知静止时

00g

所以，1Dv12pgv 0Dt000由于0

1所以，惯性项中可忽略，令g*0g（折减重力加速度）

Dv1pg*2v Dt00连续性方程不变 v0

以上为基本方程

1.11旋转流体流动，科里奥利力效应（Coriolis effect）

一、对于较大的江河、湖泊、海湾等水域的流动问题，将地球看成惯性坐标系统会引起一定的误差，此时要考虑地球转动对水域流动的影响。根据理论力学知： 绝对运动（定坐标系）=相对运动（动坐标系）+牵连运动（动坐标系对定坐标系）对于动坐标系为定轴转动的情况：aIaRaeak

aI绝对加速度，aR相对加速度，ae牵连加速度，akCoriolis加速度。

相对运动和牵连运动相互作用结果。vaer

akz由于牛顿第二定律对于定坐标系进行的，所以，对于流体质量力为重力，N-S方程为：

1u2DvaIpgu DtI所以，对于旋转动坐标系的相对运动微分方程为：

1u2Dvaaapgurzv IekDtRr可表示为2r'2与p合并考虑。

二．科化力效应判别数。

有两个：（Roby）罗斯比数 R012u惯性力 L科化力

（Ekman）埃克曼数 EkL2粘性力

科化力由公式可知：R0减小，Ek减小，科化力大，不能忽略。对环境问题：地球自转不变，L大时，R0减小，Ek减小。

所以，对大面积水体流动问题，如海湾、湖泊、大气环流、科化力要计入。第三章 稳流模型

（一）方程的封闭问题及稳流模型的概念。1.瞬时不可压缩流动N-S方程： 连续：ui0 xiuiui2ui1运动：ujFi

txjxixjxj方程组4个，未知数4个，理论上可直接求出解，也就是说明N-S方程包含了所有的湍动信息，可直接求解，也就是进行直接模拟（DNS）。直接法要求：①t，ui都很小与脉动量同一量级。

②计算量很大。

③边界条件给定难度大。

④目前只有对Re小流动，简单边界条件进行计算的算例无法用于工程实际。

对工程问题，往往不要求物理量的瞬时值，只要知道时均值随时间变化就可以了，因此转向解时均流动。

2.时均不可压缩紊流（Reynolds方程）

ui0xiuiuui11jtxjxixjui''uiujFixj''

方程4个，未知数，ui，6个独立的uiuj（i，j=1，2，3）总共10个未知数。所以方程不封闭。

3.紊流模型：为了使上述方程封闭，根据紊流特性需附加的条件。