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甘肃省高中数学优质课教案
【授课教师】 苏文云
【授课地点】 临泽一中
【授课时间】 2007年11月3日
【教学内容】 抽象函数问题分类解析
【教学目标】
1、知识目标：
（1）、理解抽象函数并掌握抽象函数的一般解题策略；
（2）、通过对抽象函数的研究，进一步加深对函数概念和性质的理解；
（3）、渗透特殊值法，化抽象为具体、转化等数学思想方法。
2、能力目标：
（1）、重视基础知识的教学，基本技能的训练和能力的培养。
（2）、逐步培养与提高学生的探索能力，研究能力以及正确地分析问题，解决问题的能力。
（3）、通过教师指导，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生情操，培养学生坚韧不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神。
【教学重点】
抽象函数性质的研究及应用
【教学难点】
抽象函数性质研究中学生思维能力的形成，以及综合应用知识分 1
析问题和解决问题能力的培养与提高。
【教学方法】自主探索，合作交流
【课型】拓展研究课
【教学过程】
一、课题引入：在高考对函数的考察中，经常出现未给出函数解析式，仅给出函数恒等式或函数方程的一类抽象函数推理问题，重点考察考生对函数概念、函数性质的掌握与应用，以及逻辑思维能力和抽象概括能力。由于其具有题型的新颖性、内容的综合性、解法的灵活性、思维的抽象性的特点，因而此类问题已成为高考备考中热点、重点和难点。
二、知识再现：
1、抽象函数关系式相应的函数模型
f(x+y)=f(x)+f(y)-b。y=ax+b
f(m-x)=f(m+x)y=a(x-m)2+n
f(x+y)=f(x)f(y)（或 f(x-y)=f(x)/f(y)）y=ax(a>0且 a≠1)
f(xy)=f(x)+f(y)（或f(x/y)=f(x)-f(y)）y=logax(a>0且a≠1)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)y=cosx2、如何解决抽象函数问题？
利用赋值法, 类比猜测法等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题。
三、抽象函数问题归类与研究。
（一）研究函数性质
例1：定义在R上的函数f(x)满足
f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)当x＜0时，f(x)＞0
(1)、判断函数f(x)的奇偶性。(2)、证明f(x)是R上的减函数。解：（1）令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)①
令x=y=0得f(x)=0②
由①②得f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数。
（2）设x1﹤x2则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)
∵x1﹤x2
∴x1-x2﹤o
∴f(x1-x2)﹥0
∴f(x1)﹥f(x2)
∴f(x)是R上的减函数。
探究:上述若为选择或填空题，应如何解答？
例２设函数f(x)的定义域为R，且对任意的x，y有f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)，并存在正实数c，使f(c/2)=0。试问f(x)是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析与思考：f(x)是否为周期函数→能否联想到一个特殊模型→能否依特殊模型猜测周期性→能否依特殊模型的周期及特性猜测f(x)的周期性
解:猜测f(x)是以2c为周期的周期函数。
∵f[(x+c/2)+c/2]+f[(x+c/2)-c/2]=2f(x+c/2)f(c/2)=0
∴f(x+c)=－f(x)
∴f(x+2c)=－f(x+c)=f(x)
故f(x)是周期函数，2c是它的一个周期。
点评：这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类比，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
（二）求参数范围
例３ 已知函数f(x)对任意x,y∈R有f(x)+f(y)=2+f(x+y)，当X＞0时，f(x)＞2，f(3)=5，求使得f(a2-2a-2)＜3成立的实数a的取值范围。分析与思考: 如何解不等式f(a2-2a-2)＜3→能否将该不等式具体化→若不能具体化如何解不等式
解：设x1、x2∈R且x1＜x2则x2-x1＞0
∴f(x2-x1)＞2即f(x2-x1)-2＞0
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-2＞f(x1)
∴f(x2)＞f(x1)
故f(x)为增函数，又 f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-2=3f(1)-4=5
∴f(1)=3
∴f(a2-2a-2)＜3=f(1), 即a2-2a-2＜1
∴-1＜a＜3
点评：这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉符号“f”，转化为代数不等式（组）求解，但要特别注意函数定义域的作用。
四、巩固练习：定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0，求 f(2000)的值。
五、小结
１、研究抽象函数性质的方法与技巧；
２、以抽象函数为载体的参数取值范围的求法
３、注意数学方法（赋值法、迭代法）和数学思想在解题中的渗透。
六、布置作业
