数列6.1 数列的概念及简数列单表示法(教案)_数列概念及简单表示法

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响水二中高三数学（理）一轮复习 教案 第六编 数列 主备人 张灵芝 总第26期

§6.1 数列的概念及简单表示法

基础自测

1.下列对数列的理解有四种：

①数列可以看成一个定义在N（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；④数列的通项公式是惟一的.其中说法正确的是（填序号）.答案 ①③

2.设an=-n+10n+11，则数列{an}从首项到第 项的和最大.答案 10或11 3.(2008·安徽文，15)在数列{an}中,an=4n-52*,a1+a2+…+an=an+bn,n∈N,其中a、b为常数，则22*ab=.答案-1 3n1(n为奇数)，4.已知数列{an}的通项公式是an=则a2·a3=.2n2(n为偶数)，答案 20 5.（2008· 北京理，6）已知数列{an}对任意的p,q∈N满足ap+q=ap+aq且a2=-6,那么a10=.答案-30

*例题精讲

例1 写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…；（2）（3）-1，1371531，，，…；

32248163***37，-，-，…；（4），-1，-，-，…；

111323456379（5）3，33，333，3 333，….解（1）各项减去1后为正偶数，所以an=2n+1.（2）每一项的分子比分母少1，而分母组成数列2，2，2，2，…，所以an=

42n12n.（3）奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子（-1）n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2-1，偶数项为2+1，165

1(n为正奇数)2(1)nn所以an=（-1）·.也可写为an=.3n(n为正偶数)nn（4）偶数项为负，奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是3+1，4+1，5+1，6+1，按照这样

+1121221n21+1n的规律第1、2两项可改写为，-，所以an=(-1)·.221212n1（5）将数列各项改写为2349999999999，，…，分母都是3，而分子分别是

33331(10n-1).310-1,10-1,10-1,10-1,…,所以an=例2 已知数列的通项公式为an=n2n21.（1）0.98是不是它的项？（2）判断此数列的增减性.解（1）假设0.98是它的项，则存在正整数n,满足∵n=7时成立，∴0.98是它的项.（2）an+1-an=(n1)2(n1)12n2n12=0.98，∴n=0.98n+0.98.22n22n1[(n1)1](n1)=

2n122＞0.∴此数列为递增数列.1,求an.2例

3、已知数列{an}的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=解 ∵当n≥2时，an=Sn-Sn-1,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0，即

11-=2，SnSn11111∴数列是公差为2的等差数列.又S1=a1=，∴=2，∴=2+（n-1）·2=2n，S2SSn1n∴Sn=1111∴当n≥2时，an=-2SnSn-1=-2··=-，2n2n2(n1)2n(n1)1(n1)2∴an= 1(n2)2n(n1)巩固练习

1.根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：（1）2468101925，，，…（2），2，8，…

992315356322（3）5，55，555，5 555，55 555，…（4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，…

166（5）1，3，7，15，31，…

解（1）这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解成1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，经过组合，则所求数列的通项公式an=

2n.(2n1)(2n1)（2）数列的项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察： 1491625n2，，，…，可得通项公式an=.222222n个n个n个555（3）联想999=10n-1,则an=555=(999)=(10n-1),即an=(10n-1).999（4）数列的各项都具有周期性，联想基本数列1，0，-1，0，…，则an=5sin2

3n.2（5）∵1=2-1，3=2-1，7=2-1，…∴an=2n-1，故所求数列的通项公式为an=2n-1.2.已知函数f（x）=2x-2-x，数列{an}满足f（log2an）=-2n.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{an}是递减数列.（1）解 ∵f（x）=2x-2x，∴f（log2an）=2log2an-2log2an=-2n，即an--

1=-2n.an∴a2n2n4n24+2n·an-1=0.∴an=，又an＞0，∴an=n21-n.22(n1)21(n1)an1n21n（2）证明 ∵an＞0，且an=n1-n,∴==＜1.an22n1n(n1)1(n1)∴an+1＜an.即{an}为递减数列.3.已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2Sn=an+1，求an.解 ∵2Sn=an+1,∴Sn=∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=112(a2n+2an+1),∴Sn-1=(an1+2an-1+1), 4412［（a2］，整理可得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，n-an1）+2（an-an-1）4∵an＞0，∴an-an-1=2，当n=1时，a1=1,∴{an}是以1为首项，2为公差的等差数列.∴an=2n-1(n∈N).*回顾总结

知识 方法

167 思想

课后练习

一、填空题

1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…的第100项是.答案 14 2.数列{an}中，a1=1,对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an=n，则a3+a5=.答案 61 1681524，-，…的一个通项公式是.957n(n2)2n1*

23.数列-1,答案 an=(-1)n4.下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖 块.（用含n的代数式表示）

答案 4n+8 5.已知数列{an}的前n项和Sn=n-9n，第k项满足5＜ak＜8，则k=.答案 8 6.若数列{an}的通项公式an=21(n1)2，记f（n）=2(1-a1)(1-a2)…(1-an)，试通过计算f(1),f(2),f(3)的值，推测出f(n)=(用含n的代数式表示）.答案 n2 n112a0a,n,n327.（2008·沈阳模拟）数列{an}满足an+1=，a1=，则数列的第2 008项为.52a1,1a1,nn2答案 4 58.已知数列{an}中,a1=1,(n+1)an=nan+1,则数列{an}的一个通项公式an=.168 答案 n

二、解答题

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，满足log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式.解：Sn满足log2(1+Sn)=n+1,∴1+Sn=2n,∴Sn=2n-1.∴a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1)=2n(n≥2), 3∴{an}的通项公式为an=n2(n1),(n2).+

1+1

+1

10.已知数列{an}中，a1=1,前n项和为Sn，对任意的n≥2,3Sn-4,an,2-

3Sn1总成等差数列.2（1）求a2、a3、a4的值；（2）求通项公式an.解（1）当n≥2时，3Sn-4,an,2-由a1=1,得a2=3(1+a2)-4,∴a2=111，a3=-，a4=.2483Sn13成等差数列，∴2an=3Sn-4+2-Sn-1，∴an=3Sn-4（n≥2）.22111111,a3=31a3-4,∴a3=-,a4=31a4-4,∴a4=.248224∴a2=

3Snan4a1（2）∵当n≥2时，an=3Sn-4,∴3Sn=an+4,∴,可得:3an+1=an+1-an,∴n1=-，2an3Sn1an14∴a2，a3，…，an成等比数列，∴an=a2·qn=

11·22n21=-2n11，∴an=1n12(n1)(n2).11.在数列{an}中，a1=11*，an=1-(n≥2,n∈N)，数列{an}的前n项和为Sn.2an1（1）求证：an+3=an;(2）求a2 008.（1）证明 an+3=1-1an2=1-111an1=1-11111an=1111an1an

=1-11=1-anan1an1an1an1=1-

1=1-(1-an)=an.∴an+3=an.1an1（2）解 由（1）知数列{an}的周期T=3，a1=2

111，a2=-1，a3=2.又∵a2 008=a3×669+1=a1=.∴a2 008=.22212.已知二次函数f(x)=x-ax+a(x∈R)同时满足：①不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素；②在定义

169 域内存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立.设数列{an}的前n项和Sn=f（n）.（1）求函数f(x)的表达式；（2）求数列{an}的通项公式.解（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，∴Δ=a-4a=0a=0或a=4，当a=4时，函数f(x)=x-4x+4在（0，2）上递减，故存在0＜x1＜x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，当a=0时，函数f(x)=x在（0,+∞）上递增，故不存在0﹤x1﹤x2,使得不等式f(x1)＞f(x2)成立，综上，得a=4,f(x)=x-4x+4.（2）由（1）可知Sn=n-4n+4，当n=1时，a1=S1=1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n-4n+4)-［(n-1)-4(n-1)+4］=2n-5, 2

22222

21∴an=2n5(n1).(n2)

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