[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义_人教a版高中数学教案

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2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：

一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180（2）两向量共线的判定（3）练习

1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（C）A.6 B.5 C.7 D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（B）A.-3 B.-1 C.1 D.3（4）力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0向量与任何向量的数量积为0.探究：

1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？

2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，1 也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c.但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA| ab = bc 但a  c(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c  a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为0； 当 = 0时投影为 |b|； 当 = 180时投影为 |b|.3．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.探究：两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，1、ab  ab = 02、当a与b同向时，ab = |a||b|； 当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|或|a|aa |ab| ≤ |a||b| cos =探究：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos ∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab)= a(b)证：若> 0，(a)b =|a||b|cos，(ab)=|a||b|cos，a(b)=|a||b|cos，2ab

|a||b| 2 若

a(b)=|a||b|cos()= |a||b|(cos)=|a||b|cos.3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos

2∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2，∴c(a + b)= ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

２

ａ＝ｂ

２（3）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

三、讲解范例：

例1．证明：(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ·ｂ＋ｂ ２

２

２

例2．已知|a|=12，|b|=9，ab542，求a与b的夹角。

例3．已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60求：（1）(a+2b)·(a-3b).（2）|a+b|与|a-b|.（利用 |a|oaa）

例4．已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.四、课堂练习：

1．P106面1、2、3题。

2．下列叙述不正确的是（）

A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数 3．|a|=3，|b|=4，向量a+

33b与a-b的位置关系为（）44A.平行 B.垂直 C.夹角为

 D.不平行也不垂直 3 4．已知|a|=8，|b|=10，|a+b|=16，求a与b的夹角.五、小结：

1．平面向量的数量积及其几何意义； 2．平面向量数量积的重要性质及运算律； 3．向量垂直的条件.六、作业：《习案》作业二十三。