均值不等式教案_均值不等式的教案

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§3.2 均值不等式

【教学目标】

1.理解均值不等式

2.能利用均值不等式求最值或证明不等式

【教学重点】

掌握均值不等式

【教学难点】

利用均值不等式证明不等式或求函数的最值，【教学过程】

一、均值不等式：

均值定理：如果a,bR,那么_______________________(当且仅当_______时取等号)证明：

定理说明：

ab1、称为正数a,b的______________称ab为正数a,b的___________因2此定理又叙述为：________________________________________

2、几种变形：

（１）ab2ab

（_______________）

ab

（２）ab

（_______________）

2

（３）a2b22ab

（_______________）

3、应用定理注意的问题：

（１）应用定理的条件_____________________

（２）定理注意_____________________

二、定理应用：证明简单的不等式或求最值

ba例

1、已知ab0，求证：2

ab

1例

2、当x0时,求x的最值,并求取最值时x的值.x

211变式：

1、已知a,bR,求证:ab4

ab

2、若x3,函数yx

13、若x0,求x的最值.x1,当x为何值时函数有最值,此时x是何值? x3

2x2x3x0的最大值,以及此时x的值.例

3、求函数fxx

x22x3x0的最小值及取得最小值时x的值.变式：求函数fxx

例

4、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36cm，问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？

结论：（１）___________________________________________________

（２）___________________________________________________ 变式：已知直角三角形的面积为50，问两直角边各为多少时，它们的和最小？这个最小值是多少？

课堂小结：

课后练习：课本练习A、B