1排列组合与二项式定理教案(多份)_12排列与组合教案

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2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.1 计数原理1—乘法原理（分步计数原理）

一、问题引入

常见船上悬挂有红、蓝、白三种颜色的旗帜，代表了不同的信号、不同的含义，随着排列顺序不同、悬挂数目不同，能表达多少种不同的信号？

路上有10盏路灯，为了节能，关闭其中三盏灯有多少种关法？如果三盏灯还要不相邻，又有多少种关法？

这便是我们这一章节主要要学习、讨论的内容，先从最基本的计数原理讲起．

二、教学过程

1、（1）参照《课本》P49图，讨论从A到B的不同走法情况．

答：

（2）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分为n个步骤，而完成其中每一步骤又有若干种不同方法，则做成这件事情的方法总数，可以用分步计数原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，„„，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法． ②注意：m1、m2、mn对应的都是完成每一相应步骤的方法数，必须所有步骤都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？（3）4名同学争夺跑步项目的前三名，有多少种可能？（4）4名同学中选3人分别报名跑步、跳高、跳远三个项目，有多少种报名方法？（5）3封信投4个邮箱，几种投法？（6）四种型号电视机搞促销，3个顾客各选购一台，几种选法？（7）四台不同型号电视机搞促销呢？（8）5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座

例

2、（1）a1a2a3b1b2b3b4c1c2展开后共有多少项？（2）540的不同正约数有多少个？

2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

3、已知x1,2,3,4,5，y3,4,5,6，则Mx,y共可以表示多少个不同的点？多少个第2象限点？多少个不在直线yx上的点？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能组成多少四位数？

（2）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位数？（3）0、1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的四位奇数？（4）1、2、3、4、5能组成多少无重复数字的三位偶数？

例

5、（1）已知A0,1,2,3，若a,b,cA，且a,b,c互不相等，则可表示的所有一元二次方程ax2bxc0有多少？

（2）若a1,2,3,5，b1,2,3,5，则能表示多少条不同的直线ybx？ a22（3）若a3,4,5，b0,2,7,8，r1,8,9，可表示多少不同的圆xaybr2？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.2 排列

一、教学过程

1、排列：一般地，从n个元素中取出m（mn）个元素，按照一定次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 特点：元素顺序不同，对应了不同的情况． 如果问题3中改为选取2人充当主持而不分正副，则还是排列问题吗？

2、如何判断两个排列是否相同？ 答：判断元素是否相同；排列顺序是否相同． 例

1、判断下列问题是否排列问题：

（1）从1，2，3，5中任取两个不同的数相减（除），可得多少种不同的结果？（2）从1，2，3，5中任取两个不同的数相加（乘），可得多少种不同的结果？（3）有12个车站，共需要准备多少种普通票？（4）在（3）中共有多少种不同的票价？

（5）某班有50名同学，假期约定每2人通一次信，共需写信多少封？（6）把（5）中写信问题改为会面，共需通电话多少次？（7）把（5）中通信换成互赠照片，共需准备照片多少张？

3、排列数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pnm表示． 注：关于排列数的计算，Pn1表示n个元素里选取1个元素排成一列的情况，即n个元素选1个元素的选法，所以Pn1n，至于其他情况，有如下分析．

4、排列数公式：一般地，排列数Pnm可以按从n个不同元素中取出m个元素依次填入m个空位来考虑． Pnmnn1n2nm1 共m项

例

2、用排列数表示nmnm1nm15，其中m,nN，mn．

5、全排列

①n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 这时，排列数公式中的mn，即有 

Pnnnn1n2321 这就是说，n个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积． ②正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示． 规定，0!1． ③Pnnn!为了保证全排列mn时也能成立，我们规定0!1．

例3、1!2!3!4!5!100!的个位数字是多少？

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例

4、解方程：（1）n3!1m1 

（2）P23n10Pn

3（3）5P9m3mP10n2!3

nn1n例

5、求证：PmnPmPm1．

例

6、从0，1，2，3，4中选取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中比200大的三位数有几个？

例7、15支球队进行双循环赛，即每队都要与其余各队在主客场分别比赛1场，共进行多少场比赛？（如改为单循环赛呢？）

例8、10个人排队，按以下要求有多少种不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成两排，每排5人；（3）甲不在队首；

（4）甲乙丙必须在奇数位上；

（5）甲在奇数位上，乙丙在偶数位上；（6）甲乙丙三人必须在一起；

（7）甲乙丙三人必须在一起，丙又在甲乙中间；（8）甲乙丙三人中任意两人不排在一起；（9）甲始终坐在乙的右侧．

例9、5男5女共10个同学排成一行，（1）女生都排在一起，有几种排法？（2）女生与男生相间，有几种排法？

（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？（4）5名男生不排在一起，有几种排法？

（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右侧，有几种排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7组成无重复数字的七位数中，若2，4，6次序一定，有多少种不同的七位数？如改为1，3，5，7次序一定呢？2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.3 计数原理2—加法原理（分类计数原理）

一、教学过程

1、加法原理

如果完成一件事有n类的办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法．

2、注意

①各类方法间相互独立，通过每一类方法都能完成整件事； ②分类时，确定一个分类的标准，不重复不遗漏； ③分类时要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性；分步时要注意“步”与“步”之间的连续性． 例

1、给定数字0，1，2，3，4，5，每个数字最多用一次，（1）可以组成多少个自然数？（2）可以组成多少个奇数？（3）可以组成多少个四位偶数？

（4）可以组成多少个比2300大的四位数？（5）可以组成多少个比240135大的数？（6）可以组成多少个能被5整除的四位数？（7）可以组成多少个能被25整除的四位数？

例

2、在3000和8000之间，有多少个无重复数字的奇数？

例

3、某天课程表排入数学、物理、化学、语文、英语、体育各一节，（1）体育不排第一节，也不排第三节，几种不同排法？（2）第一节不排体育，第三节不排数学，有多少种不同的排法？

二、课后练习

1、将a、b、c、d、e、f六个不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有几种排法？

2、从9本不同的书中取出6本排在书架上，满足下列条件之一，分别有几种方法？（1）某一本书必须排在左端或右端；（2）某一本书不能排在两端；

（3）某两本书，A不能排在左端，B不能排在右端．2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.4 组合一、教学过程

1、组合：一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的次序有关，而组合与元素的次序无关．

2、如何判断两个组合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、组合数 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示． 1注：关于排列数的计算，Cn表示n个元素里选取1个元素的情况，即n个元素选1个元素的选法，所100nPn1n；Cn1；Cn以Cn表示n个元素里一个都不选的选法数，显然Cn表示n个元素里选取n个元素的选法数，显然，Cnn1，至于其他情况，有如下分析． Pnmnn1n2n!nm1

4、组合数公式：Cm，其中mn． m!m!nm!Pmmn例

1、解方程：CCC．

m1m1m例

2、证明：CnCn1．

n

15、组合的应用题

例

3、现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表，（1）男甲、女A都必须当选，有几种选法？

（2）男甲必须当选，女A不能当选，有几种选法？（3）至少有一个女同学当选，有几种选法？（4）最多有三个女同学当选，有几种选法？

例

4、要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？（1）A、B、C三人必须入选；（2）A、B、C三人不能入选；（3）A、B、C三人只有一人入选；（4）A、B、C三人至少一人入选；（5）A、B、C三人至多二人入选．2n2n12n2 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

例

5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？

（3）甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？（4）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷．现从这11人中选出4人排版、4人印刷，有几种不同的选法？

（2）由13个人组成的课外活动小组，其中5个人只会跳舞，5个人只会唱歌，3个人既会唱歌，也会跳舞，若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目，共有多少种不同的选法？

6、组合数的性质 ①性质

1、CnmCnnm mm1m1CnCn②性质

2、Cn1 例

7、计算：CC

例

8、解方程：

x12x283C17Cn（1）C17

（2）Cn

n3n12n3C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nnnn；3Cn1

例

10、计算：

***6C4C5C6C7C8C9C6C7C8C9C7C8C9（1）C4；（2）C5；（3）C52C6

13m12C32C4CmCm例

11、证明：C2111315810 2013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

§16.5 二项式定理

一、教学过程

1、二项式定理： ①一般地，对于任意正整数n有 abn0n01n112n22nrrnrn11n1n0nCnabCnabCnabCnabCnabCnab ②右边的多项式叫做ab的二项展开式，它一共有n1项，其中各项的系数Cnr（r0，1，2，）叫做二项式系数，式中的Cnranrbr叫做二项展开式的通项，它是二项展开式中的第r1项，用Tr1表示，即 rnrrTr1Cnab． n例

1、求1的二项展开式．

x14

1例

2、求2x的二项展开式．

x6

12例

3、（1）求xa的二项展开式的中间项；

1（2）求x的展开式中第四项的系数及二项式系数；

x91（3）求2x的展开式中x3的系数及二项式系数；

x912（4）求x的二项展开式中x的系数．

x8

x3例

4、（1）求的二项展开式中的常数项；

x31（2）求3x的二项展开式中的常数项；

x2（3）求x4的二项展开式中的有理项；

x15（4）若x2的二项展开式中x3的系数为，求a的值．

ax26915162013届高三第一轮复习讲义——复旦实验中学高三数学备课组

1例

5、已知x4的二项展开式中，前三项系数成等差数列，求二项展开式中的所有有理项．

2xn

1例

6、（1）设x2的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值；

2xn（2）若x2xnxn1ax3bx2cx2n（nN，n3）且a:b3:2，求n．

例

7、计算：

1n12n2rnrn（1）2nCn； 2Cn21Cn21Cn01n1nCnCnCn（2）Cn；

12n1n4Cn2n1Cn2nCn（3）12Cn；

例

8、求5051被7除所得的余数．

二、二项式系数性质： nrn1、观察二项式系数表，探究规律 ①每一行中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； ②每一行两端都是1，其余位置的每一个数都等于它“肩上”两个数的和； ③每一行中，二项式系数先是逐渐增大至最大，然后逐渐减小，越靠近中间越大，左右对称．

2、一般地，二项式系数有如下两个性质： ①性质

1、ab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等； 这一性质可直接由公式CnmCnnm得到． ②性质

2、ab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n． 1n1n将ab1分别代入ab和它的二项展开式中，即有2nCn0CnCnCn． nnn

例

8、求证：在ab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．

n 9