组合(第一课时)优质课教案_优质课整合教案

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组合（第一课时）

教学目标：

1、理解组合的概念，正确区分排列、组合问题；

2、掌握组合数的计算公式；

3、通过学习组合知识，让学生掌握类比的学习方法，并提高学生分析问题和解决问题的能力； 教学内容：组合的概念及组合数的计算方法 教学重点：组合的概念、组合数 教学难点：解组合的应用题 教学方法：排列与组合结合法 教学过程设计

一、知识回顾

1、排列的概念

一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

2、排列数概念

一般地，从n个不同的元素中每次取出m(mn)个元素的所有排列的个数，称为从nm个不同元素中取出m个不同元素的排列数，记作An。

m3、排列数计算公式：Ann(n1)(n2)(nm1)(mn)n

Ann!

mAnn!

nm!

二、学习新课

课题引入：通过上节课研究排列的问题出发，对比引出另一种与排列不同的计数方法，即组合。

【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出1名班长，一名副班长，共有多少种不同的选法？(若把问题改为从甲、乙、丙3名同学中选出2名担任班委，共有多少种不同的方法？该问题与原问题有何区别？)

2解：原问题是上节课学习的排列数的问题，排列数为A3，对应的排列为：

甲 乙

乙 甲

甲 丙

丙 甲

丙 乙

乙 丙

变化后的问题对应的可能情况为： 甲 乙 甲 丙

丙 乙

分析：与排列不同的是，这个问题是从3个不同的元素中取出2个，而取出的这两个元素是 1 一个组合，没有顺序。这就是本节课研究的另外一个计数问题，组合问题（引出组合的概念）组合一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

分析：对比排列和组合的定义，同样是从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，而排列是把取出的m个元素按照一定的顺序排成一列，也就是说排列与元素的顺序有关，而组合单单是把取出的m个元素并成一组，与元素的顺序无关。组合数

同样地类似于排列，我们研究从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的组合共有

m多少个，这类计数问题叫做组合问题，相应的组合数记为Cn。

【问题2】从3个不同的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不同的排列？（若改为从3个不同的元素a,b,c中每次取出2个，共有多少种不同的组合？）

2解：原问题为从三个不同的元素中每次取出两个元素的排列问题，排列数为A3，对应的排列为：

ab

ba

ac

ca

bc

cb

2变化后的问题为从三个不同的元素中取出两个元素的组合问题，组合数为C3，对应的组合为：

ab

ac

bc

总结：通过问题1与问题2可以看出，给出一个问题，如果与顺序有关，则是排列问题，若果与顺序无关，则是组合问题。

通过例题讲解区分排列与组合问题。

【例1】判断下面问题是排列问题，还是组合问题？

(1)从6个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

(2)从6个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？ 解：(1)选出的2个风景点，不必明确游览顺序，这是一个组合问题，对应的组合数为C6（先标记在后面，一会再求解）。

(2)选出的2个风景点，必须明确游览顺序，这是一个排列问题，对应的排列数为A6（学生求解排列数A6，复习巩固上节课排列数的计算公式）。课堂练习：书55页课后练习题3 222 2(1)8名同学聚会，每两人握手一次，共握手多少次？解：与顺序无关，因此是组合问题，组合数为C8（先标记在后面，一会再求解）。

(2)6名同学约定元旦互送贺卡一张，共寄多少张?

2解：甲→乙贺卡与乙→甲贺卡代表的意义不一样，因此有顺序性，是排列问题，排列数为A6（学生计算，使学生熟练掌握排列数的计算公式）

(3)某铁路沿线有5个站，需要准备多少种车票？有多少种不同的票价？

解：第一个问题车票种数：南通→南京与南京→南通为两种不同的车票，有顺序性，是排列2问题，排列数为A5（学生求解）；

第二个问题票价问题：南通→南京与南京→南通车票的票价是一样的，没有顺序性，是2组合问题，组合数为C5（标记在后面，一会再求解）。

(4)平面内有10个点，以其中2个点为端点的线段(有向线段)共有多少条？

2解：线段AB与线段BA为两条相同的线段，因此没有顺序性，是组合问题，组合数为C10（标记在后面，一会再求解）；

有向线段（有方向的线段，即：有向线段AB与有向线段BA是两条不同的线段），因此

2有顺序性，是排列问题，排列数为A10（学生计算）。

组合数计算公式

思考：排列数有相应的计算公式，那上面标记的组合数该如何计算呢？

回到问题2，从三个不同的元素a,b,c中每次取出2个的排列与组合的关系如图：

A32：ab

ba

A2

2ab

C32

ac

ca

ac

bc

cb

bc

2从图中关系可以看出组合共有C3个；

2将每一个组合中的元素进行全排列，均有A2=2个排列；

2因此，从3个不同的元素中取出2个元素的排列数A3，可以分成以下两个步骤来完成：

第一步：从3个不同的元素中取出2个元素的组合数为C3；

第二步：对每一个组合中的2个不同的元素进行全排列，其排列数为A2。根据分步乘法原理，得

A3C3A2

22222A32从而有

C=2

A223 3（从特殊回到一般）一般地，从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数也可以按以上两个步骤来完成，即

mmm AnCnAmmAnn(n1)(n2)(nm1)由此得到组合数计算公式：Cm

Amm!mn由于Anmn!，所以组合数公式还可以表示为

nm!m

Cnn!（其中，n,mN，mn）

m!(nm)!0由于计算需要，规定

Cn1 7【例2】计算C10

7A1010987654解：由组合公式得C7120

A77654321710课堂练习

通过组合公式的推导及例题2的讲解，请学生将之前标记过的组合数在练习本上求解（并请4名同学上黑板演示求解过程，同时检查其他同学掌握程度）

2A66

51、C21

5A22126A82872、C228

A22128A525

43、C210

A221252A101094、C245

A221210习题讲解，提出计算组合数需要注意3点：

1、公式不要列错；

2、项不要列错；

3、计算不要马虎。

【例3】一批产品20件，其中有2件次品，其余均为正品，从20件产品中任意抽取3件进行检验，问：

分析：通过画图进行图形结合法，如图

(1)共有多少种不同的抽法？

分析：从20件产品中任意抽取3件，没有特殊要求，因此不用考虑特殊情况，不同的抽法等于组合数。

3A20201918解：C31140

A3321320(2)恰有一件次品的不同抽法有多少种？

分析：抽取的3件产品中恰有一件次品可以分两步来完成：

1第一步：从2件次品中任意抽取1件，有C2种不同的抽法； 2第二步：从18件正品中任意抽取2件，有C18种不同的抽法。

根据分步乘法原理，所有的抽法种数为

21A18A221817解：CC12306

A1A212112218(3)全是正品的不同抽法有多少种？

分析：抽取的3件产品全是正品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为

3A18181716解：C3816

A3321318(4)至多有一件次品的不同抽法有多少种? 分析：抽取的3件产品至多有1件次品，包含几类情况？（解释至多的概念，并与学生一起分析包含几类情况）

3第一类：3件产品中没有次品，即从18件正品中任意抽取3件，不同的抽法为C18 12第二类：3件产品有一件次品，问题回到第2题中，分两步来完成，不同的抽法有C2 C18根据分类加法原理，不同的抽法总数为

231A18A18A221817181716解：CCC1238163061122

A1A2A312132112218318(5)至少有一件次品的不同抽法有多少种？

分析：抽取的3件产品中至少有一件次品，包含几类情况？（解释至少的概念，并与学生一起分析包含几类情况）

第一类：3件产品中有一件次品，回到第二题中，分两步来完成，不同的抽法有C2C18；5

21第二类：3件产品中有两件次品，分两步来完成，不同的抽法有C2（请同学思考，借C18鉴第二题给出）

根据分类加法原理，所有的抽法总数为

2112A18A18A2A22181718解：CCCC122130618324

A1A2A2A112111221822118

三、课堂小结：

1、组合的概念；

2、组合数的概念；

3、组合数的计算公式；

4、区分排列问题与组合问题；

5、根据组合公式求解组合应用题。

四、课后作业

书58页练习1、2、3；书60页习题A组2

驻马店市2017年度优质课教学设计

学科：数学

课题：组合（第一课时）

单位：汝南高中

姓名：高永献