高一数学 1.1.1《算法的概念》教案 新人教版必修3_高一数学必修全套教案

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1．1．1算法的概念

一、教学目标：

1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。

（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。

2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。

二、重点与难点：

重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。

难点：把自然语言转化为算法语言。

三、学法与教学用具：

学法：

1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质

数；求任意一个方程的近似解；„„)，并且能够重复使用。

2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。

3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。

教学用具：电脑，计算器，图形计算器

四、教学设想：

1、创设情境：

算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。

2、探索研究

算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

3、例题分析：

用心爱心专心-1-

例1任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数做出判定。

算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

例2用二分法设计一个求议程x–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

第一步：令f(x)=x–2。因为f(1)0，所以设x1=1，x2=2。

第二步：令m=(x1+x2)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x1)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x1)·f(m)>0，则令x1=m；否则，令x2=m。

第四步：判断|x1–x2|

1、x2之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。

小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性 典例剖析：

1、基本概念题

① 例3写出解二元一次方程组的算法 ② 解：第一步，②-①×2得5y=3；③第二步，解③得y=3/5；

第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5

学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？ 老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组

A1xB1yC10A2xB2yC20

(A1B2B1A20)的解的算法：

第一步：②×A1-①×A2，得(A1B2-A2B1)y+A1C2-A2C1=0；③ 第二步：解③，得y

A2C1A2C2A1B2A2B1；

第三步：将y

A2C1A2C2A1B2A2B1

代入①，得x

B2C1B1C2A1B2A2B1。

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法： 第一步：取A1=1，B1=-2，C1=1，A2=2，B2=1，C2=-1； 第二步：计算x

B2C1B1C2A1B2A2B1

与y

A2C1A2C2A1B2A2B

1第三步：输出运算结果。

可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

基础知识应用题

例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。解：算法如下。

S1先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

S2将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。

S3如果序列中还有其他整数，重复S2。

S4在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

学生做一做写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

老师评一评在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1max=a

S2如果b>max, 则max=b.S3如果C>max, 则max=c.S4max就是a,b,c中的最大值。综合应用题

例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+„+n=以根据加法运算律简化运算过程。解：算法1： S1：计算1+2得到3；

S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6； S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10； S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15； S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

n(n1)

进行，也可

算法2： S1：取n=6； S2：计算

n(n1)；

S3：输出运算结果。算法3：

S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7； S2：计算3×7； S3：输出运算结果。

小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+„+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。学生做一做求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。老师评一评算法1；第一步，先求1×3，得到结果3； 第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15； 第三步，再将15乘以7，得到结果105； 第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。S1使P=1。S2使i=3 S3使P=P×i S4使i=i+2

S5若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

小结由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。

4、课堂小结

本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。

例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里

发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为（1）1:00从家出发到公共汽车站（2）1:10上公共汽车（3）1:40到达体育馆（4）1:45做准备活动。（5）2:00比赛开始。若用数学语言来描述可写为： S11:00从家出发到公共汽车站 S21:10上公共汽车 S31:40到达体育馆 S41:45做准备活动

S52:00比赛开始

大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。

5、自我评价

1、写出解一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的一个算法。

2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）

6、评价标准

1、解：算法如下 S1计算△=b-4ac

S2如果△〈0，则方程无解；否则x1= S3输出计算结果x1，x2或无解信息。

2、解：算法如下： S1使i=1

S2i被3除，得余数r

S3如果r=0，则打印i，否则不打印

S4使

S5若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。

7、作业：

1、写出解不等式x2-2x-3

评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax2+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：

第一步：计算△= b4ac；

第二步：若△>0，示出方程两根x1,2bb4ac（设x1>x2），则不等式解集为

2a

{x | x>x1或x

第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且xb2a

}；

第四步：若△

2、求过P(a1,b1)、Q(a2,b2)两点的直线斜率有如下的算法： 第一步：取x1= a1，y1= b1，x2= a2，y1= b2； 第二步：若x1= x2； 第三步：输出斜率不存在； 第四步：若x1≠x2； 第五步：计算k

y2y1x；

2x1

第六步：输出结果。

3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。解：算法：第一步：取x1=-2，y1=-1，x2=2，y2=3； 第二步：计算

yy1；

yxx12y1

x2x1

第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；第五步：计算S=

1|2

m||n|；

第六步：输出运算结果