人教A版选修45教案 二 用数学归纳法证明不等式_人教a高中数学5不等式

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二 用数学归纳法证明不等式

教学要求：

了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写.教学重点：

能用数学归纳法证明几个经典不等式.教学难点：

理解经典不等式的证明思路.教学过程：

一、复习准备：

12221.求证：13352.求证：1n2n(n1),nN*.(2n1)(2n1)2(2n1)1112341n,nN*.n2

1二、讲授新课： 1.教学例题：

① 出示例1：比较n2与2n的大小，试证明你的结论.分析：试值n1,2,3,4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明

→ 要点：(k1)2k22k1k22kkk23kk2k2….小结：试值→猜想→证明

11② 练习：已知数列an的各项为正数，Sn为前n项和，且Sn(an)，归纳出an的公式

2an并证明你的结论.解题要点：试值n=1,2,3,4，→ 猜想an → 数学归纳法证明 ③ 出示例2：证明不等式|sinn|n|sin|(nN).要点：|sin(k1)||sinkcoscosksin||sinkcos||cosksin|

|sink||sin|k|sin||sin|(k1)|sin|

④ 出示例3：证明贝努利不等式.(1x)n1nx(x1,x0,nN,n1)

22证明：（1）当n=2时，由x0得(1x)12xx12x，即不等式成立；

（2）假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即有(1x)1kx：，则当n=k+1时，k(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当n=k+1时，原不等式也成立； 由（1）（2）知，贝努利不等式成立；

注：事实上，把贝努利不等式中的正整数n改为实数仍有类似不等式成立.当是实数,且或0时,有(1x)≥1x(x1)当是实数,且01时,有(1x)≤1x(x1)

2.练习：试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有an+cn＞2bn.解答要点：当a、b、c为等比数列时，设a=

b, c=bq(q＞0且q≠1).∴ an+cn=….qancnacn 当a、b、c为等差数列时，有2b=a+c，则需证＞()(n≥2且n∈N*).22ak1ck11k+1k+1k+1k+11(a+c+a+c)＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)….当n=k+1时，244=1kkackacack+1(a+c)(a+c)＞()·()=().42223.小结：应用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式；技巧：凑配、放缩.三、巩固练习：

已知nN,n2,证明： 1211n1n211.2n