人教版圆的一般方程教案_人教版圆的方程教案

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圆的一般方程

一、教学目标

1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

二、教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．

三、教学过程

（一）复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是Ax+By+C=0吗？ 生A：是的．

生B：缺少条件A2+B2≠0．

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？

(书写课题：“圆的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圆的方程？ 生A：不一定．还得考虑：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否写成标准形式．

生B：也可以像直线方程一样，要有一定条件． 师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？ 生：配方．

师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．)

22将（*）式配方得:DED2E24Fx2y24.

1．当D2+E2－4F＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

DE12,2为圆心，2D2E24F为半径的圆；

2.当D2E24F0时，式只有实数解xD2,yE2,即式表示一个点D2，E2有时也叫点圆3.当D2+E2－4F＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．

教师总结：当D2+E2－4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圆的一般方程．

师：圆的一般方程有什么特点？ 生A：是关于x、y的二元二次方程． 师：刚才生A的说法对吗？

生B：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项．

(追问)：这两个条件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圆”的什么条件？ 生：必要条件． 师：还缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

练习：判断以下方程是否是圆的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程． 师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．

DE1生：圆心，rD2E24F.，222生B：不用死记，配方即可．

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 四．例题讲解

例1．求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一条直线上，因此经过O,M1,M2三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为x2y2DxEyF0，∵O,M1,M2三点都在圆上，∴O,M1,M2三点坐标都满足所设方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所设方程，F0得：DEF20

4D2EF200D8解之得：E6

F0所以，所求圆的方程为x2y28x6y0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂线的交点即为圆心，圆心到O的距离就是半径也可以求的圆的方程：x2y28x6y0．

法三：也可以设圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得(x4)2(y3)225

五、小结

注意一般式的特点：1°x2，y2系数相等且不为零；2°没有xy这样的项；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考虑：D2+E2－4F有点像什么？像判别式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圆的方程的判别式．如D、E确定了，则与F的变化有关．

六、作业：

1.求下列各圆的圆心坐标和半径： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教学反思

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设计这节课时，力求“过程、结论并重；知识、能力、思想方法并重”.6