反函数教案第三课时_人教版反函数教案

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高中数学教案

第二章 函数（第10课时）

王新敞

课

题：2.4.3 反函数

（三）教学目的：

1．在掌握反函数概念的基础上，初步会求非单调函数在各不同单调区间上的反函数，会利用反函数解决相关综合问题。

2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；

3．培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。教学重点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用 教学难点：较复杂的函数的反函数的求法及其应用.。授课类型：练习课 课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪 教学过程：

一、复习引入：

1．反函数的定义；求反函数的一般步骤分：一解、二换、三注明 互为反函数的两个函数有什么关系：

函数yf(x)与yf1(x)的图象关于直线yx对称.反函数的定义域由原函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 2．函数yf(x)、yf1(x)、xf(y)、xf1(y)间的关系：

yf(x)与yf1(x)、xf(y)与xf1(y)互为反函数； yf(x)与xf1(y)、xf(y)与yf1(x)为同一函数。

二、讲解例题：

例1 求函数y=1x1x

(x≥0，x≠1)的反函数.解：⑴由原函数变形为y-y∵

x=1+x，即x=(y-1)/(y+1)--①, x≥0，∴(y-1)/(y+1)≥0，解得y

2⑵由①两边平方得x=[(y-1)/(y+1)], 新疆奎屯市一中

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第二章 函数（第10课时）

王新敞

⑶∴原函数的反函数是f1；(x)= [(x-1)/(x+1)]2（x

x(x0)例2 设函数y=f(x)=2，求它的反函数.x(x0)分析：这里给出了分段函数，即在不同的x范围内有不同的表达式，因此，也应在不同的x范围内求其反函数.解：⑴当x

x(x≥0).x(x0).(x)=x(x0)axb3x1的反函数是y(x∈R,x≠2)，求a,b,cxcx2例3 已知函数y的值.解：⑴由y3x12y1(x≠2)解出x=，x2y3∵原函数的值域是y≠3, 3x12x1(x≠2)的反函数是y(x≠3,x∈R).x2x3axb2x1⑵由互为反函数的函数关系知，y与y是同一函数，x3xc∴y∴a=2,b=1,c=-3.例4 若点A(1,2)既在函数f(x)=axb的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a,b的值.分析：求a,b，就要有两个关于a,b的方程，如何寻求？

①A(1,2)在f(x)图象上，这是很容易看出来的.②如何用它也在f(x)的反函数的图象上呢？

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第二章 函数（第10课时）

王新敞

其一，真求反函数，再把A(1,2)代入.能不能不求反函数？

其二，A(1,2)在反函数图象上，则A'(2,1)就应在原函数的图象上，即(a,b)满足y=f(x)，则(b,a)应满足y=f1(x)，反之亦然.解：由A(1,2)在f(x)=axb上，则有ab2--①；

由A(1,2)在其反函数图象上，可知A'(2,1)也在函数f(x)=axb图象上，∴又有2ab1--②，解联立①②的方程组得a=-3,b=7.例5．若f(x1)x2x(x0)，试求反函数yf1(x)．

分析：当已知函数是一个复合函数时，要求它的反函数，首先要求原来函数解析表达式．

解：令x1t，则xt1，x(t1)2，代入所给表达式，得f(t)(t1)2+2(t1)2=t1，2x0，∴x1t1，即原来函数是f(x)x21(x1)．

易求函数f(x)x1(x1)的反函数是

2yf1(x)x1(x0)．

注：在利用换元解题时，一定要注意新元（中间变量）的取值范围．

三、练习：

x21(x0)1．求函数y=的反函数.x1(x0)解：当x≥0时，y≥1，由y=x2+1得x=

y1(y≥1)；当x

1y

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第二章 函数（第10课时）

王新敞

又在其反函数的图象上，求a,b的值.解：∵点(a,b)在函数f(x)的图象上，∴b=1+2a3---①, 又点(a,b)在其反函数的图象上，∴点(b,a)在原函数f(x)的图象上，∴有a=1+2b3---②，联立①②解得a=b=2.四、小结

本节课学习了以下内容：

分段函数的反函数的求法及含有字母的函数的问题

五、课后作业：

1．课本P64习题2.4：3，4.答案：3.⑴y=f1(x)=x/2，y2x(x[0,)它的定义域为[0,+∞);⑵y2x(x[0,)及其反函数

1yx(x0)2的图象如右图所示.y1x(x0)2第3（2）题4.∵y=x/5+b的反函数为y=5x-5b，由已知y=ax+3是y=x/5+b的反函数，∴函数y=x/5+b与函数y=ax+3为同一个函数，由此得a=5且-5b=3.∴a=5,b=-3/5.2．求函数f(x)=x|x|+2x的反函数.(提示：讨论x≥0和x

六、板书设计（略）

七、课后记：

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