高中数学 3.4.1《基本不等式的证明》教案 苏教版必修5_高中数学必修五教案

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第 11 课时：§3.4.1基本不等式的证明（2）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步掌握基本不等式；

2.学会推导并掌握均值不等式定理；

3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。

4.使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；基本不等式在证明题和求最值方面的应用。

二、过程与方法



值。

三、情感、态度与价值观

引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

【教学重点与难点】：

重点：均值不等式定理的证明及应用。

难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．重要不等式：如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取“”号)

2．基本不等式：如果a,b是正数，那么22ab，并会用此定理求某些函数的最大、最小2ababab(当且仅当ab时取“”号).我们称为a,b2

22的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数，ab22ab和ab

2ab成立的条件是不同的：前者

只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。

二、研探新知

最值定理：已知x,y都是正数，①如果积xy是定值p，那么当xy时，和xy有最小值2p；②如果和xy是定值s，那么当xy时，积xy有最大值

证明：∵x,yR，∴ 12s． 4xyxy，2①当xyp(定值)有(xy)min2p； xy2p∴xy2p，∵上式当xy时取“”，∴当xy时

②当xys(定值)时，xys12 ∴xys，∵上式当xy时取“”∴当xy时有2

4(xy)max12s． 4

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；

②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。

③函数式中各项必须都是正数;

④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（1）求 lgxlogx10(x1)的最值，并求取最值时的x的值。

解：∵x1∴lgx0logx100，于是lgxlogx102lgxlgx102，当且仅当lgxlogx10，即x10时，等号成立，∴lgxlogx10(x1)的最小值是2，此时x10．

（2）若上题改成0x1，结果将如何？

解：∵0x1lgx0logx100，于是(lgx)(logx10)2，从而lgxlogx102，∴lgxlogx10(0x1)的最大值是2，此时x

例2（1）求yx(4x)(0x4)的最大值，并求取时的x的值。

（2）求yx4x2(0x2)的最大值，并求取最大值时x的值

解：∵0x4，∴x0,4x

0，∴1． 10x4x2则yx(4x)4，当且仅当

2x4x，即x2(0,4)时取等号。∴当x2时，yx(4x)(0x4)取得最大值4。

例3 若x2y1，求11的最小值。xy

11x2yx2y2yx2yx

123()3xyxyxyxy解：∵x2y1，∴

x12yxy，即当且仅当x

yx2y1

2

∴当x1,y11时，

取最小值3xy2例4 求下列函数的值域:（1）y3x11yx；（2）2x2x

归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：

(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；

(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.四、巩固深化，反馈矫正

1．已知0x1,0y1,xy1，求log1xlog1y的最大值，并求相应的x,y值。93

32．已知x0，求23x的最大值，并求相应的x值。

3．已知0x

2，求函数f(x)x值。

4．已知x0,y0,x3y1,求的最小值，并求相应的x,y值。

五、归纳整理，整体认识

1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；

2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：

（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；（2）配凑出和为定值；

（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用。

六、承上启下，留下悬念4x1x1y

七、板书设计（略）

八、课后记：