数理方法电子教案_数理方法习题及答案

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《数理方法》电子教案

一、课程考试试题样卷题型及分值分配

本课程考试试题主要参考书目为梁昆淼，《数学物理方法》。试题样卷题型及其分值分配见下表1：

表1：试题样卷题型及其分值分配

试题样卷题型 单项选择题 填空题 计算题 综合题

分值分配

共20小题，每题2分，共40分 共10小题，每题1分，共10分 共8小题，每题5分，共40分

共10分

二、知识点分布

课程知识点分布如下：

主要有两部分的内容：第一部分是复变函数论，第二部分是数学物理方程。复变函数论

第一章：复变函数、复数及运算、区域；

第二章：复变函数的积分、柯西定理及公式；

第三章：幂级数展开，复数项级数和泰勒级数的展开； 第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分； 第五章：傅里叶积分与傅里叶变换； 第六章：拉普拉斯变换； 数学物理方程

第七章：数学物理定解问题，数学物理方程的导出及分类； 第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；

第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题； 第十章：球函数；

第十一章：柱函数，贝塞尔方程；

第十二章：格林函数，求解各种格林函数； 第十三章：积分变换法； 第十四章：保角变换法； 第十五章：近似方法简介。

三、课程重难点、要点

复变函数论

第一章：复变函数、复数及运算；

第二章：柯西定理及公式； 第三章：幂级数展开；

第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分； 第五章：傅里叶积分与傅里叶变换； 第六章：拉普拉斯变换； 数学物理方程

第七章：数学物理方程的导出及分类；

第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；

第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题； 第十章：球函数；

第十一章：柱函数，贝塞尔方程；

第十二章：格林函数，求解各种格林函数； 第十三章：积分变换法；

四、具体例题及分析

一、填空题：

1.复数z=1+i 的指数表达式为（）A．e

B．2e

C．2e

D．2e

B

2.关于解析函数的概念，下列四个描述种错误的是（）

A．若函数f(z)在某点z0及其领域可导，则必在z0解析。B．若函数f(z)在某点z0解析，则必在z0可导。C．若函数f(z)在某点z0可导，则必在z0解析。

D．若函数f(z)在某区域上解析与在该区域可导是等价的。

C

3.复变函数的路积分可归结为两个实变函数的线积分。下列表达式正确的是（）

A．f(z)dz=u(x,y)dxv(x,y)dy+iv(x,y)dxu(x,y)dy

llli4i24i2i34B．f(z)dz= u(x,y)dxv(x,y)dy+iv(x,y)dxu(x,y)dy

llC．f(z)dz=v(x,y0dxu(x,y)dy+iu(x,y)dxv(x,y)dy

lD．f(z)dz=v(x,y)dxu(x,u)dyiu(x,y)dxv(x,y)dy

lB

4.以z0为中心的复变项幂级数，其收敛圆是以z0为圆心以R为半径的圆，关于该级数在圆域上的收敛情况及有关性质，下列论述中错误的是（）

A．幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛，在圆周上及圆外均发散。B．幂级数在收敛圆内可以逐项求导任意次。C．幂级数在收敛圆内可以逐项积分。

D．幂级数的和函数是收敛的圆内的解析函数在收敛圆内不存在奇点。

A 5.f(x)的复数形式的傅里叶积分表达式及傅里叶变换式，下列正确的是（）

A．f(x)=B．f(x)=01F()ed,F()2iwx0f(x)[eiwx]dx

120F()eiwxd,F()12120f(x)[eix]dx

C．f(x)=F()eiwxd,F()f(x)[eix]dx

D．F(w)F1[f(x)],f(x)F1[F(w)]

(F表示傅里叶逆变换)

C 6.关于不定积分F(z)f()d的性质下列描述中错误的是（）

z0z1A.F(z)是B上的解析函数.B.F(z)f(z)C.z2z1f()dF(z2)F(z1)

D.路积分f()d完全不确定

z1z2D

7.下面关于泰勒级数和罗朗级数的比较，其中正确的是（）

A.当f(z)在以z0为中心的圆cR内解析，则f(z)可展为罗朗级数。在环域R2|zz0|R1内解析时，可展为泰勒级数。B.罗朗级数的系数与泰勒级数系数ak完全一致。C.泰勒级数和罗朗级数的区别只是不含负幂项。

D.当所研究的区域上f(z)无奇点时则可展为泰勒级数，有奇点时则可展为罗朗级数。级数的形式是唯一的。

B

二、填空题：

1.以z0为中心的幂级数ak(zz0)k其和函数可表示为连续导数的回路积

k0分，即 ak0k(z0)k_________.1w()d

2icRz2.f(z)在以z0为圆心的圆周cR内解析，f(z)可展开为f(z)=ak(zz0)k，其中系数ak=______.k0akf(n)(z0)

k!3.贝塞尔函数Jv的级数表达式Jv=（）。

(1)kk01x()v2kk!(vk1)2

4.v阶罗埃曼函数的表达式Nv=（）（用贝塞尔函数表示）

NvJv(x)cosvxJv(x)

sinvx

三、计算题

1、在z0=1的邻域上将函数f(z)1展开为格朗级数.(z21)1111解答：2(1)kk2(z1)k，(0z12)

z1zz1k022、求矩形脉冲f(t)hrect(t)的复数形式的傅里叶变换。2TthTThsinwTsinc(w)解答：F[hrect()]

2Tw3、给贝塞尔方程的表达式及阶和阶贝塞尔函数的级数表达式，并用贝塞尔函数表示方程的通解。

d2RdRx(x2m2)R0,(x)解答：x2dxdx2用贝塞尔函数表示出贝塞尔方程的解为

Y(x)c1J(x)c2J(x)

1x2kJ(x)(1)()

 k!(k1)2k0k1x2kJ(x)(1)()

k!(k1)2k0k0t1

4、求单个锯齿脉冲f(t)ktrect()即f(t)ktT20(t0)(0tT)的复数形式的(tT)傅里叶变换。

解答：

k2[1(eiT1)iTeiT]

5、试给出球函数方程的表达式及分离变数后的解的表达式。（实数形式和复数形式）

1y12y解答：(sin)l(l1)y0

sinsin22sinmylm(,)plm(cos)

(m0,1,2,3l,l0,1,2,3)

cosmmylm(,)pl(cos)eim

(m0,1,2,3l,l0,1,2,3)

6、试给出x0时Jv(x)，Jv(x)，N0(x)，Nv(x)的渐进行为。

解答：Jv(x)0

Jv(x)

N0(x)

Nv(x)

(v0)

四、综合题

1、应用傅立叶变换法求解无限长弦的自由振动。

utta2uxx0(x)



u(x),u(x)t0t0解答：U(t,k)逆变换后：

111111(k)eikat(k)eikat(k)eikat(k)eikat 22aik22aikxa1(xat)(xat)1xa()d 22a u(x,t)

2、利用傅里叶变换法求杆的温度u(x,t)，并利用积分公式e22kekdk()e2/4a2对结果进行化简。

参考答案：u(x,t)()[12ate(x)24a2t]d