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§7 相关性
一、教学目标
1． 通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系．
2． 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程．
二、设计思路与教学建议
相关性问题是日常生活中普遍存在的问题，教科书从生活的问题展开讨论．生活中，有些变量之间存在明显的函数关系，这对于研究这两个变量之间关系是非常重要的；有些变量之间不满足函数关系，但是它们之间又存在着一种明显的依赖关系，例如人的身高与体重，一般说来，身高越高的人体重越重，但是又没有明显的函数关系．而在日常生活中，我们经常会遇到：在你测量体重时，电子仪器会给你提示――你很健康；或者，你偏胖，需要加强锻炼等等．那么，这些电子仪器又是如何凭借身高与体重情况,对人的健康情况作出判断的呢？
电子仪器通常是凭借人的身高与体重的经验公式来作出判断的，这个经验公式反映的就是人的身高与体重之间的依赖关系．当然，两个变量之间的依赖关系有疏有密，这个内容在选修系列中将作进一步讨论．教科书所提供的问题情境中的变量之间通常是存在着较为紧密的相关性．在必修部分我们只讨论这种情形．
当然，两个变量之间的相关性可以用一条直线或曲线来进行拟合．如果两个变量之间的依赖关系是近似一条直线，那么这两个变量就是线性相关的；如果两个变量之间的依赖关系是近似一条曲线，那么这两个变量就是非线性相关的；如果两个变量之间不存在明显的依赖关系，那么这两个变量就是不相关的．本教科书主要讨论线性相关的情形．
本节教科书首先从生活的问题展开，提出相关性问题．接着，从一个实际的例子展开讨论，重点放在散点图和用不同的方法来拟合两个变量之间的线性关系．在下一节课，主要讨论如何用最小二乘法来对两个变量的线性关系进行拟合．
【问题提出】
P53
先从生活中存在明显函数关系的两个变量开始，函数关系能比较理想和准确地反映两个变量之间的关系；接着，引出不存在明显函数关系的两个变量，举出生活中的例子，并对身高与体重的数据进行分析，以帮助学生理解；进而，提出两个变量之间散点图及相关性的概念．
【例】
P54
给出生活中一个常见的现象――身高越高的人，他的右手一长就越长，但是这两者之间又不是函数关系，而是一个相关关系，从以后的学习中，我们还会知道，这两者之间的相关程度是很大的．基于这个现象，教科书提供了一组真实的数据，让学生来分析这组数据，主要考虑三个方面的问题――其一，制成散点图，从散点图上判断这两者之间是否存在相关关系；其二，近似地描述这种线性关系，画出直线；其三，利用它们之间的近似关系作一个估计．这三个问题是讨论线性相关性时很重要的问题．教科书将重点放在第二个问题的讨论上，旨在提倡学生采用自己的解决方法，因为拟合本身没有最好的方法，只有更好的方法，目的是要让学生进行探究，在探究的过程中寻求较好的拟合方法．这将有助于发散学生的思维，培养学生的创新意识与创新能力．
【分析理解】
P57
同学甲和同学乙的思考方法是比较形象的，同学甲最直观，但比较粗略，同学乙“使得在直线两侧的点数尽可能一样多”是理性和精细的．
同学丙和同学丁的思考方法是比较理性的，也是相对粗略的，但对于学生来说，比较直观，也便于理解和操作．这两种方法比较程序化，同学丁的方法更精细一点．
同学丙和同学丁的思考方法本身是值得研究和探讨的，教学时，教师可以指导有兴趣的学生将这种问题进行更深入的探讨，可以给学生提出这样的问题――如果按照同学丙和同学丁的方法，那么你是否能将他们的思考方法更精细化．比如，我们可以将所有的点分成四个部分，每个部分取一个平均点，这样就得出了四个点的坐标，然后，再分别求出这四个点中的前三个点和后三个点的平均点，最后将这两个点连成一条直线．这条直线在一定程度上要比同学丙和同学丁的方法精细一些．如此做下去，一定会得到越来越精细的拟合．
【练习】
P59
练习中的问题与例题是相似的，处理方法上也是一样的，第（3）个问题的解决方法可由学生自己选择，教师不要强求一致．第（4）个问题是根据第（3）个问题而得出的，所以前一个问题的解决方法不同，可能导致着结果的不同．解题的主要步骤如下．
（1）根据表中提供的数据，可以画出如下的散点图．
（2）从散点图上可以看出，气温与卖出的热茶杯数近似地成线性关系，并且当气温越高时，所卖出热茶的杯数就越少．
（3）同学甲和同学乙的方法略去．
按照同学丙的方法，我们可以将数据分成两类：一类是气温高于10℃的，另一类是气温不高于10 ℃的，求出它们的平均点的坐标分别为133，1523，（19，26）．
设这条近似的直线方程为：y=kx+b，由两个平均点可以求出斜率
k=(26-152/3)/(19-13/3)=(-74/3)/(44/3)=-3722≈-1.682，代入一点坐标即可求出b=1.27522≈57.955，进而所求的直线方程为：
y=-1.682x+57.955．
当x=-5时，y=-1.682×(-5)+57.955≈66．
因此，当气温是-5 ℃时，大约能卖出热茶66杯．
按照同学丁的方法,我们可以将数据分成三类：平均每类有两个点，第一类是（-1，64），（4，50），第二类是（10，38），（13，34），第三类是（18，24），（26，20）．这三类的平均点的坐标依次为（1.5，57），（11.5，36），（22，22）,这三个点的“平均点”为（11.7，38.3）．设这条近似的直线方程为：y=kx+b，进而由点（1.5，57）和（22，22），求出斜率
k=(57-22)/(1.5-22)=35/(-20.5)=-70/41≈-1.707，代入点（11.7，38.3）坐标即可求出b≈58.272，进而所求的直线方程为：
y=-1.707x+58.272．
当x=-5时，y=-1.707×(-5)+58.272≈67．
因此，当气温是-5 ℃时，大约能卖出热茶67杯．
【习题1-8】
P59
1.本题主要目的是与抽样方法联系起来，让学生经历一个完整的统计过程，要设计调查方案与分析报告．调查方案与分析报告的书写格式不做硬性要求，但是基本的要求要达到．比如，采用什么的抽样方法，如何组织调查，数据如何进行收集与整理，对数据的分析主要侧重于哪些方面，期望能得到什么样的结论等．这两个问题都可以采用简单随机抽样或系统抽样．对数据的分析可以作出散点图，选用适当的方法画出近似直线．
2.本题是与例题类似的问题，也是对本节开始提出的体重与身高问题的一个回答．散点图如下页所示．从散点图上可以看出，这些人的身高与体重近似成一条直线．
同学甲和同学乙的方法略去．
按照同学丙的方法，我们可以将这10个点分成两组：一组是身高在188 cm以上的，其他的为另一组．可以求得这两组数据的平均点分别为（182.8，74.4），（194.2，88.8）．设这条近似的直线方程为：y=kx+b，由两个平均点可以求出斜率
k=(88.8-74.4)/(194.2-182.8)=14.4/11.4=24/19≈1.263，代入一点坐标即可求出
b=-2 973.6/19≈-156.505，进而所求的直线方程为：
y=1.263x-156.505．
当x=172时，y=1.263×172-156.505≈61,因此，身高是172 cm的运动员的体重大约是61 kg．
按照同学丁的方法，我们按照身高状况将数据分成三类：第一类是（175, 63），（180, 75），（185, 79）；第二类是（186, 80），（188, 75），（190, 82），（193, 86）；第三类是（194, 92），（196, 88），（198, 96）．这三类的平均点的坐标依次为180, 2173，（189.25, 80.75），（196, 92）,这三个点的“平均点”为（188.4，81.7）．设这条近似的直线方程为：y=kx+b，进而由点（180, 2173）和（196, 92），求出斜率
k=(92-217/3)/(196-180)=(59/3)/16=59/48≈1.229，代入点（188.4, 81.7）坐标即可求出
b≈-149.844，进而所求的直线方程为：
y=1.229x-149.844．
当x=172时，y=1.229×172-149.844≈62,因此，身高是172 cm的运动员的体重大约是62 kg．
3．与第2题类似．根据表中的数据，制成散点图如下．从散点图上可以看出，人的年龄与最大可识别距离近似成一条直线．
按照同学丙的方法，我们可以将这30个点分成两组：一组是年龄大于54岁的，其他的为另一组．可以求得这两组数据的平均点分别为（31.53, 482），（70.47, 364.67）．
设这条近似的直线方程为：y=kx+b，由两个平均点可以求出斜率
k=(364.67-482)/(70.47-31.53)=-117.33/38.94≈-3，代入一点坐标即可求出b=576.59，进而所求的直线方程为：
y=-3x+576.59．
当x=50时，y=426.59．
因此，一位年龄为50岁的驾驶员的最大可识别距离大约为426.59英尺．
按照同学丁的方法，我们按照身高状况将数据分成三组：按照年龄从小到大顺序平均分成三组．这三组平均点的坐标依次为（24.7, 506），（54.2, 407），（74.1, 357）,这三个点的“平均点”为（51，423.3）．设这条近似的直线方程为：y=kx+b，进而由点（24.7, 506）和（74.1, 357），求出斜率
k=(506-357)/(24.7-74.1)=149/-49.4≈-3，代入点（51，423.3）坐标即可求出
b=576.3，进而所求的直线方程为：
y=-3x+576.3．
当x=50时，y=426.3．
因此，一位年龄为50岁的驾驶员的最大可识别距离大约为426.3英尺．
根据以上的数据与分析结果可以知道，随着年龄的增大，最大可识别距离在减小，因此，建议年龄较大的驾驶员在驾驶时车速不宜太快，否则对交通标志的识别与交通意外的判断都会大大降低，也就是更容易遇到危险．
4.本题可以做出几个散点图，从不同的散点图上可以分析不同的相关性，可以求出它们之间关系的拟合直线方程．下面提供了5个散点图，求方程的过程同前几题．（略去）
