下载高一数学55线段的定比分点教案_高一数学定比分点

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5.4 平面向量的坐标运算

【基础知识精讲】

1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得a=xi+yj,则实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标(简称坐标)，记作a=(x,y)，其中x和y分别称为向量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而a=(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标相同.同样，坐标相同的向量是相等的向量.显然i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)

2.平面向量的坐标运算：

(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：

a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，则AB=(x1-x2,y1-y2)(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.若a=(x,y),则λa=(λx,λy)

3.向量平行的坐标表示

已知向量a、b(b≠0)，则a∥b的充要条件为存在实数λ，使a=λb.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)(b≠0)则a∥b的充要条件为：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】

1.向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向量的坐标相同，那么它们就是相等向量.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.2.向量AB的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐

标.3.实数λ与向量a的积的运算时，λ应与a的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设λ∈R，a=(x,y)λa=λ(x,y)=(λx,y)或λa=λ(x,y)=(x,λy)

例1 若向量a=(x+3,x-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x=

2解：∵A(1,2),B(3,2)则有AB=(2,0).又∵a=AB，∴它们的坐标一定相同.∴应填：-1

例2 已知a=(3x+4y,-2x-y), b=(2x-3y+1,-3x+值.分析：这里可以根据条件2a=3b建立关于x,y的方程组，通过解方程组即可求得x与y的值.解：∵a=(3x+4y,-2x-y),16y+3)，若2a=3b,试求x与y的9b=(2x-3y+1,-3x+16y+3)9∴由2a=3b可得：

(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+

16y+9)3

b同向，说明：这里的题设条件2a=3b，其实它反应了向量a，并且2｜a｜=3｜b｜，3｜b｜,所以a，b的坐标应成比例，即a的横、纵坐标分别与b的横纵坐标之23比相等且都等于.2即｜a｜=

例3 已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设OA=(3,-2), OB=(5,-2), OC=(-1,4), OD =(x,y)依题意，AB=DC或AC=DB或AB=CD 由AB=DC，可得：OB-OA=OC-OD

即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)(2,4)=(-1-x,4-y)

∴D(-3，0)同理，若AC=DB可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若AB=CD可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8.∴D(1,8)∴点D的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)

例4 已知｜a｜=10, b=(3,-4),且a∥b,求a.解：设a=(x,y)，则有

或x6

y8

∴a=(6,-8)或(-6，8)

例5 已知a=(3,2), b=(-2,1), c=(7,-4),用a，b表示c.解：设c=ma+nb,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1)∴ m13m2m7 解得：

n22mn4∴c =a-2b

例6 如图，已知凸四边形ABCD中，E、F分别是AB与CD的中点，试证：2EF=AD+BC 分析：本例是实数与向量积，但用向量的坐标运算进行论证，其思路明确，过程简单.证明：设A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)于是AD=(x4，y4)-(x1，y1)=(x4-x1,y4-y1)BC=(x3,y3)-(x2,y2)=(x3-x2,y3-y2)又2²OE=OA+OB

∴2²OE=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)2²OF=(x3+x4,y3+y4)2EF=2(OF-OE)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)AD+BC=(x4-x1,y4-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)∴2EF=AD+BC

【难题巧解点拔】

例1 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若AP=AB+λ²AC(λ∈R),试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上?点P在第三象限内? 分析：由题设条件可用λ分别表示点P的横、纵坐标，再根据点P在一、三象限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等，点P在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负，就能求出相应的λ值.解：设点P的坐标为(x,y)则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)AB+λ²AC=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］

=(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)∵AP=AB+λAC ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)x235x55∴ ∴

y317y47∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若点P在一、三象限角平分线上，则5+4λ=4+7λ ∴λ=1 2550(2)若点P在第三象限内，则

4701∴4 ∴λ＜-1 7即只要λ＜-1时，点P就在第三象限内.例2 如图已知OA=a,OB=b, OC=c,求证A、B、C三点在一条直线上的充要条件是：有不全为0的实数m,n,l，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0

解：过A、B的直线方程是p =a+t(b-a)1°必要性：若A、B、C在同一直线上，则c=a+t(b-a)=(1-t)a+tb-c=0 令1-t=l,t=m,-1=n, 则有ta+mb+lc且m+n+l=0 2°充分性：由l+m+n=0 la+mb+mc=0

 m(c-b)=-l(c-a)即mBC=-lACBC∥AC且有公共点A、B、C三点共线.评析：证明充要条件一定要证两个方面，即充分性和必要性两个部分.例3 已知：a=(cosα,sinα), b=(cosβ,sinβ), a+b=(求(1)(cos(α-β),sin(α-β))(2)tan解：(1)依题意，可得：

43,)552

①+②得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-221，2从而sin(α-β)=±213,±)22∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-

(2)由①得：2cos由②得：2sin2²cos

22=

=③ 5 ④ 2 ²cos

35④3得：tan= ③24

【课本难题解答】

课本第112页习题5.4第8题：

设b=λa即：(x,-6)=λ(2,3)(x,-6)=(2λ,3λ)∴ x2 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4 63第9题：

AB=(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD=(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8)显然CD=-2AB ∴AB与CD共线.【命题趋势分析】

向量的坐标表示，实际是向量的代数表示形式，引入向量的坐标表示后，就可以使向量的运算完全代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密联系起来了.本节考查学生是否会求向量的坐标，能否正确利用向量的坐标表示进行向量的线性运算.利用向量共线的充要条件解证相关的问题，本节是高考的热点.【典型热点考题】

例1 若向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b,v=2a-b,且u∥v，则x=.解：u=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由u∥v,一定存在λ∈R，使u=λv 则有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)

42x1(2x)3

解得：43x12∴应填

例2 若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD=2AB-3BC，则点D的坐标为.解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)∴AB=(3,1), BC=(1,-4)∴AD=2³(3,1)-3³（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14)设点D(x,y)则AD=(x+1,y-2)1.2x2x13故 ∴ 

y16y214∴D的坐标为(2，16)∴应填：(2，16)

例3 若A、B、C三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则AB+2BC，BC-的坐标分别为、.分析：本题主要考查向量的坐标表示及向量的坐标运算.解：AB=(-2,10), BC=(-8,4), AC=(-10,14)∴AB+2BC=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18)

1AC2BC-11AC=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3)22∴应填：(-18，18)，(-3，3)

例4 已知a≠0，b≠0, a不平行于b,求证：a+b不平行于a-b.证明：令a=(x1,y1), b=(x2,y2),有a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)假设a+b∥a-a

则(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0 整理得x2y1-x1y2=0.因为a≠0, b≠0所以a∥b)这与已知矛盾，∴a+b不平行于a-b

本周强化练习：

【同步达纲练习】

一、选择题

1.若a，b是不共线的两个向量，且AB=λ1a+b, AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件是()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2+1=0

D.λ1λ2-1=0 2.已知a=(3,-1), b=(-1,2)，则-3a-2b的坐标是()A.(7，1)

3.已知a=(-1,3), b=(x,-1)，且a∥b，则x等于()A.3

4.已知平行四边形ABCD中，AD=(3,7), AB=(-2,3),对角线AC、BD交于O，则CO的坐标是()A.(-

5.若向量a=(x-2,3)与向量b=(1,y+2)相等，则：()A.x=1,y=3

B.x=3,y=1 D.x=5,y=-1 C.x=1,y=-5 B.B.(-7，-1)

C.(-7，1)

D.(7，-1)C.-3

D.-31，5)2B.(-

1，-5)2C.（1)，-5)2 D.（1，5)26.三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)共线的充要条件是()A.x1y2-x2y1=0

C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)7.设a=（B.x1y3-x3y1=0

D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)31,sinα), b=(cosα,)且a∥b，则锐角α为()23 B.60°

C.45°

D.75° A.30°

8.已知向量AB=(6,1), BC=(x,y), CD=(-2,3),则DA=()A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)

C.(x-4,y-2)

D.(-4-x,-y+2)9.已知a=(1,2), b=(x,1)，当a+2b与2a-b共线时，x值为()A.1

10.如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么()A.若实数λ

1、λ2，使λ1e1+λ2e2)=0,λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ

1、λ2是实数 C.对实数λ

1、λ2，λ1e1+λ2e2)不一定在平面α内

D.对平面α内的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ

1、λ2有无数对.二、填空题：

1.已知e1、e2是一对不共线的非零向量，若a=e1+λe2, a=-2λe1-e2,且a、b共线，则λ=.2.已知a=(1,2), b=(2,1), c=(3,-2),且c=λa+μb，则实数λ= ,μ=.3.若向量a=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是.4.在△ABC中，已知AB=a,CA=c，O是△ABC的重心，则OB+OC=.5.已知a、b是两非零向量，且｜a｜=m,｜b｜=n，c=a+b，当m＜n时，｜c｜的最小值是.三、解答题：

1.已知a=AB,B(1,0), b=(-3,4), c=(-1,1)，且a=3b-2c，求点A的坐标.2.已知△ABC，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC中点，MN B.2

C.D.2

与AD交于F，求DF.3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB、AC为一组基底来表示AD+BD+CD.【素质优化训练】

一、判断题

1.已知：a=(1,3), b=(-3,-6),则｜a-b｜=｜a｜+｜b｜()

2.已知：i =(1,0), j=(0,1).a=(3,4)，则a=3i-4j()

3.已知：a=(5，-4),则2.5a=(12.5,-10)()

4.已知：a=(3.14,π), b=(314,100π),则a∥b()

5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，则｜AB｜+｜BC｜＞｜AC｜()

6.已知：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若x1y2+x2y1=0则a∥b()

7.若a与b不平行，m、n∈R*,c1=ma+nb,c2=ma-nb，则c1与c2不平行()

8.若a=(x,y)，则-a=(y,x)()

9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)则AB=CD()

二、1.已知点A(-1，2)，B(2，8)，及AC=

11AB,DA=-BA,求C、D的坐标.33

2.已知ABCD的正方形，BE∥AC，AC=CE,EC的延长线交BA的延长于F，求证：AF=AE.3.正方形ABCO，按顺时针方向依次为A→B→C→O，O为坐标原点OB=(1,3)，求向量OA，OC的坐标.【生活实际运用】

如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船航行的速度｜V1｜=10km/h，水流速度｜V2｜=4km/h，那么V1与V2的夹角θ(精确到1°)多大时，船才能垂直到达对岸B处?船行驶多少时间(精确到0.1min)? 解：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了.由于水流动的作用，船要被水冲向下游，因此要使船垂直到达对岸，就要使V1与V2的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如图所示).根据向量的平行四边形法则和解直角三角形的知识，可以算出 ｜V｜=9.2km/h, θ=114°, t=3.3min.【知识探究学习】

在很大的一湖岸边(可视湖岸为直线)停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成15°，速度为v=2.5km/h，同时岸上有一人，从同一地点追赶小船，已知他在岸上跑的速度为v1=4km/h，在水中游的速度为v2=2km/h，问此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少? 解析：用向量合成法来求解这个问题.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追赶船，这样才有可能追上.所以本题讨论的问题不是同一直线上 的追及问题，只有当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中行驶的轨迹它们三者组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船.设人在岸上跑的时间t1内到达A点，然后人在水中沿AE方向游水追船，如图所示，以船在B点时为参照物，则人在水中船的速度v3应为v3=v2-v，要追上船，不管v2方向如何，相对速度v3方向不变，只要在α＞θ，人就能追上船，由v2，-v, v3组成的向量三角形，其中v3，v的方向不变(图中∠ADE恒定)，而v2大小是恒定的，要DE边最长(即v的大小最大)，AE必与AD相互垂直.AF∥DE∥OB，CE∥AB，∵△AFC∽△OAB ∴AFOBv==, ACOAv1又∵AF=v,∴AC=v1.在Rt△AEC中有sin∠ACE=sinβ=

v21=,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，v12即△AED为等腰直角三角形，因此有vmax=2v2=22km/h.∴当船速为2.5km/h时，人可以追上小船.参考答案

【同步达纲练习】

一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A

二、1.±

7812 2.λ=-,μ= 3.(-1，2)4.(a-c)5.n-m

333217 AD=(,2)3.32AB-22AC 2

4三、1.(8，-10)2.DF=-【素质优化训练】

一、1.³ 2.³ 3.√ 4.√ 5.³ 6.³ 7.√ 8.³ 9.√

二、1.C(0，4)，D(-2，0)2.先求E的坐标(1313，)F的坐标(-2-3，1)再证：｜AF｜=｜AE｜ 22

3.OA=（26261313,), OC=2(,)

4422