电工教案_电工课教案

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第四章

正弦交流电路的基本概念和基本定律

第一节

正弦量

在生产和生活中使用的电能，几乎都是交流电能，即使是电解、电镀、电讯等行业需要直流供电，大多数也是将交流电能通过整流装置变成直流电能。在日常生产和生活中所用的交流电，一般都是指正弦交流电。因为交流电能够方便地用变压器改变电压，用高压输电，可将电能输送很远，而且损耗小；交流电机比直流电机构造简单，造价便宜，运行可靠。所以，现在发电厂所发的都是交流电，工农业生产和日常生活中广泛应用的也是交流电。

交流电与直流电的区别在于：直流电的方向、大小不随时间变化；而交流电的方向、大小都随时间作周期性的变化，并且在一周期内的平均值为零。图示为直流电和交流电的电波波形。

直流电和交流电的电波波形图

正弦电压和电流等物理量，常统称为正弦量。正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初始值三个方面，而它们分别由频率（或周期）、幅值（或有效值）和初相位来确定。所以频率、幅值和初相位就称为确定正弦量的三要素。

正弦交流电的基本特征和三要素

下面以电流为例介绍正弦量的基本特征。依据正弦量的概念，设某支路中正弦电流i在选定参考方向下的瞬时值表达式为

iImsin(t)

1．瞬时值、最大值和有效值

正弦交流电随时间按正弦规律变化，某时刻的数值不一定和其它时刻的数值相同。我们把任意时刻正弦交流电的数值称为瞬时值，用小写字母表示，如i、u及e表示电流、电压及电动势的瞬时值。瞬时值有正、有负，也可能为零。

最大的瞬时值称为最大值（也叫幅值、峰值）。用带下标的小写字母表示。如Im、Um及Em分别表示电流、电压及电动势的最大值。最大值虽然有正有负，但习惯上最大值都以绝对值表示。

正弦电流、电压和电动势的大小往往不是用它们的幅值，而是常用有效值来计量的。某一个周期电流i通过电阻R在一个周期T内产生的热量，和另一个直流电流通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，那么这个周期性变化的电流i的有效值在数值上就等于这个直流I。规定，有效值都用大写字母表示，和表示直流的字母一样。

周期电流的有效值

I1T

当周期电流为正弦量时，可得

IT0idt

2Im2

正弦电压和正弦电动势可得

UUm2

Em2

E一般所讲的正弦电压或电流的大小，例如交流电压380V或者220V，都是指它的有效值。一般交流电流表和电压表的刻度也是根据有效值来定的。

例1 已知某交流电压为u220多少？

解：最大值

Um220UUm22V311.1V

2sintV，这个交流电压的最大值和有效值分别为

22022V220V

有效值

2．频率与周期

正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。每秒内变化的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz）。

正弦电流波形图

频率是周期的倒数，即

f1T

在我国和大多数国家都采用50Hz作为电力标准频率，有些国家（如美国、日本等）采用60Hz。这种频率在工业上应用广泛，习惯上称为工频。通常的交流电动机和照明负载都用这种频率。

正弦量变化的快慢除用周期和频率表示外，还可用角频率ω来表示，它的单位是弧度/秒（rad/s）。角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。如果交流电在1秒钟内变化了1次，则电角度正好变化了2π弧度，也就是说该交流电的角频率ω=2π弧度/秒。若交流电1秒钟内变化了f次，则可得角频率与频率的关系式为

2πf2T

上式表示T，f，ω三个物理量之间的关系，只要知道其中之一，则其余均可求出。

例2 已知某正弦交流电压为u311sin314tV，求该电压的最大值、频率、角频率和周期各为多少？

解：由题可知：

Um311V

314rad/s

f2π31423.14Hz50Hz

T1f150s0.02s

3．初相

(t)称为正弦量的相位角或相位，它反映出正弦量变化的进程。当相位角随时间连续变化时，正弦量的瞬时值随之作连续变化。t=0时的相位角称为初相位角或初相位。就是这个电流的初相。规定初相的绝对值不能超过π。

在一个正弦交流电路中，电压u和电流i的频率是相同的，但初相不一定相同，如图所示。图中u和i的波形可用下式表示

uUmsin(tu)

iImsin(ti)

它们的初相位分别为u和i。

u和i的相位不相等

两个同频率正弦量的相位角之差或初相位角之差，称为相位差，用表示。图中电压u和电流i的相位差为

(tu)(ti)ui

当两个同频率同正弦量的计时起点改变时，它们的相位和初相位即跟着改变，但是两者之间的相位差仍保持不变。

由图正弦波形可见，因为u和i的初相位不同，所以它们的变化步调是不一致的，即不是同时到达正的幅值或零值。图中，u＞i，所以u较i先到达正的幅值。这时我们说，在相位上u比i超前角，或者说i比u滞后角。

初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同相。同相的两个正弦量同时到达零值，同时到达最大值，步调一致。如图中的i1和i2。

相位差为180的两个正弦量叫做反相。如图中的i1和i3。

由波形图可以看出，正弦量的最大值（有效值）反映正弦量的大小，角频率（频率、周期）反映正弦量变化的快慢，初相角反映分析正弦量的初始位置。因此，当正弦交流电的最大值（有效值）、角频率（频率、周期）和初相角确定时，正弦交流电才能被确定。也就是说这三个量是正弦交流电必不可少的要素，所以我们称其为正弦交流电的三要素。只有这三个要素确定之后，才能确定正弦量。

例3 已知某正弦电压在t0时为1102V，初相角为30，求其有效值。解：此正弦电压表达式为

uUmsin(t30)

当t0时，u(0)Umsin30

Umu(0)sin301100.52V2202V所以

其有效值为

UUm222022V220V

第二节正弦量的相量表示法

在上一节中我们已经看到，正弦量可以用解析式来表示，如iImsin(ti)、uUmsin(tu)，还可以用波形图表示。

此外，正弦量还可以用相量来表示。相量表示法的基础是复数，就是用复数来表示正弦量。

一、复数

1．复数的实部、虚部和模

1叫虚单位，数学上用i来代表它，因为在电工中i代表电流，所以改用j代表虚单位，即j1

有向线段的复数表示

令一直角坐标系的横轴表示复数的实部，称为实轴，以+1为单位；纵轴表示虚部，称为虚轴，以+j为单位。实轴与虚轴构成的平面称为复平面。复平面中有一有向线段A，其实部为a，其虚部为b，如图所示，于是有向线段A可用下面的复数表示为

A=a+jb

由图可见，rab2

2r表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用表示，规定幅角的绝对值小于180。

2．复数的表达方式

arctanba

s和brsin 因为

arco所以该式称为复数的直角坐标式。此式还可以写为

Arej

该式称复数的指数形式。在工程上常常写为

Ar

该式称为复数的极坐标形式。

因此，一个复数可用上述几种复数式来表示，可以相互转换。复数的加减运算可用直角坐标式，复数的乘除运算可用指数式或极坐标式。

实数和虚数可以看成复数的特例：实数是虚部为零、幅角为零或180的复数，虚数是实部为零、幅角为90或90的复数。

实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A*表示A的共轭复数，则有

A=a+jb

A*=a-jb

例4 写出下列复数的直角坐标形式

（1）548

（2）190

（3）5.590

（4）22180 解：（1）548=5cos48+j5sin48=3.35+j3.72（2）190=cos90+jsin90=j（3）5.590=5.5cos(-90)+ j5.5sin(-90)=-j5.5（4）22180=22cos180+22sin180=-22

例5 写出下列复数的极坐标形式

（1）3+j4

（2）j5

（3）-4+j3

（4）10 解：（1）

rab22=34225

arctan53.1334

所以

3+j4=553.13（2）

r5

（3）

r2arctan5090

所以

j5=590

ab2=(4)334225

arctan36.47

所以

-4+j3=536.47（4）

r10

arctan0100

所以

10=100

二、复数的运算 1．复数的加减

若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：

A1=a1+jbA2=a2+jb2

则

A1±A2=（a1+jb1）±（a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）

即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。

复数与复平面上的有向线段（矢量）对应，复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应，并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。见图，矢量A1、A2各与复数A1=a1+jb1、A2=a2+jb2相对应，把两个矢量按平行四边形法则相加，所得的矢量A1+A2与两个复数之和A1+A2=（a1+a2）+j（b1+b2）相对应。按A1-A2= A1+（-A2），把矢量A1和（-A2）用平行四边形法则相加，所得的矢量A1-A2与两个复数之差A1-A2=（a1-a2）+j（b1-b2）相对应。

矢量和与矢量差

2．复数的乘除

两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。如

A1=a1+jb1=r1A2=a2+jb2 =r22 则

A1²A2=r11²r22=r1²r2(12)

(4.17)

A1A2r11r22jr1r2(12)

如将复数A1rej乘以另一个复数e，则得

ejA2=rej=rej()

即复数A2的大小仍为r，但幅角变为()，可见一个复数乘上模为

1、幅角为的复数，就相当于将原复数所对应的矢量逆时针旋转了角，就是矢量A2比矢量A1超前了角。

同理，如以e-j除复数A1rej，则得

A3=rej()

即使原矢量顺时针旋转了角。就是矢量A3比矢量A1滞后了角。当=±90时，则

ej90cos90jsin90j

因此任意一个相量乘上+j后，即逆时针（向前）旋转了90；乘上-j后，即顺时针（向后）旋转了90。所以j称为旋转90的旋转因子。

在三相电路的分析计算中，常引用120这个旋转因子。

三、相量

1．相量法的定义

在正弦交流电路中，用复数表示正弦量，并用于正弦交流电路分析计算的方法称为相量法。

设有一正弦电压uUmsin(t)，其波形如图右边所示，左边是一旋转有向线段A，在直角坐标系中。有向线段的长度代表正弦量的幅值Um，它的初始位置（t=0时的位置）与横轴正方向之间的夹角等于正弦量的初相位，并以正弦量的角频率作逆时针方向旋转。可见，这一旋转有向线段具有正弦量的三个特征，故可用来表示正弦量。正弦量在某时刻的瞬时值就可以由这个旋转有向线段于该瞬时在纵轴上的投影表示出来。例如，在t=0时，u0Umsin；在t=t时，u1Umsin(t1)。

1用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量

正弦量可用旋转有向线段表示，而有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数来表示。如果用复数来表示正弦量的话，则复数的模即为正弦量的幅值或有效值，复数的幅角即为正弦量的初相位。

2．正弦量的相量表达式

为了与一般的复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打“”，于是表示正弦电压uUmsin(t)的相量为

U(cosjsin)UeUmmm或

UU(cosjsin)UejjUm

U

Um是电压的幅值相量，U是电压的有效值相量。注意，相量只是表示正弦量，而不是等于正弦量。另外，图中的旋转有向线段是初始位置的有向线段，表示它的复数只有两个特征，即模和幅角。

按照正弦量的大小和相位关系用初始位置的有向线段画出的若干个相量的图形，称为相量图。在相量图上能形象地看出各个正弦量的大小和相互间的相位关系。例如，在前图中用正弦波形表示的电压u电流i两个正弦量，在式uUmsin(tu)和

比电流iImsin(ti)中是用解析式表示的，如用相量图表示则如图所示。电压相量U相量I超前角，也就是正弦电压u比正弦电流i超前角。

电压和电流的相量图

只有正弦周期量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量不能画在一个相量图上，否则就无法比较和计算。

由上可知，表示正弦量的相量有两种形式：相量图和复数式（相量式）。例6 试写出表示uA220uC2202sin314tV，uB2202sin(314t120)V和2sin(314t120)V的相量，并画出相量图。

解：分别用有效值相量UA、UB和UC表示正弦电压uA、uB和uC，则

UA=2200220V

UB=220120220(12j32)V

13120220(j)VUC=22022

相量图如图所示。

第三节

电感元件与电容元件

一、电容元件的图形、文字符号

实际电容器是由两片金属极板中间充满电介质（如空气、云母、绝缘纸、塑料薄膜、陶瓷等）构成的。在电路中多用来滤波、隔直、交流耦合、交流旁路及与电感元件组成振荡回路等。电容器又名储电器，在电路图中用字母“C”表示，电路图中常用电容器的符号如图所示。

电容器的SI单位是法拉，简称法，通常用符号“F”表示。常用的单位还有“μF”“pF”，它们的换算关系如下：

1F=106μF =1012 pF 电容元件是从实际电容器抽象出来的理想化模型，是代表电路中储存电能这一物理现象的理想二端元件。当忽略实际电容器的漏电电阻和引线电感时，可将它们抽象为仅具有储存电场能量的电容元件。

二、电容元件的特性

在电路分析中，电容元件的电压、电流关系是十分重要的。当电容元件两端的电压发生变化时，极板上聚集的电荷也相应地发生变化，这时电容元件所在的电路中就存在电荷的定向移动，形成了电流。当电容元件两端的电压不变时，极板上的电荷也不变化，电路中便没有电流。

当电压、电流为关联参考方向时，线性电容元件的特性方程为：

iCdudt

它表明电容元件中的电流与其端钮间电压对时间的变化率成正比。比例常数C称为电容，是表征电容元件特性的参数。当u的单位为伏特(V)，i的单位为安培(A)时，C的单位为法拉，简称法(F)。习惯上我们常把电容元件简称为电容，所以“电容”这个名词，既表示电路元件，又表示元件的参数。

本书只讨论线性电容元件。线性电容元件在电路图中用图示的符号表示。

若电压、电流为非关联参考方向，则电容元件的特性方程为：

iCdudt

从上两式很清楚地看到，只有当电容元件两端的电压发生变化时，才有电流通过。电压变化越快，电流越大。当电压不变（直流电压）时，电流为零。所以电容元件有隔直通交的作用。而且，电容元件两端的电压不能跃变，这是电容元件的一个重要性质。如果电压跃变，则要产生无穷大的电流，对实际电容器来说，这当然是不可能的。

在u、i关联参考方向下，线性电容元件吸收的功率为：

puiCududt

在t时刻，电容元件储存的电场能量为：

W（t）C12Cu（t）

2该式表明，电容元件在某时刻储存的电场能量只与该时刻电容元件的端电压有关。当电压增加时，电容元件从电源吸收能量，储存在电场中的能量增加，这个过程称为电容的充电过程。当电压减小时，电容元件向外释放电场能量，这个过程称为电容的放电过程。电容在充放电过程中并不消耗能量。因此，电容元件是一种储能元件。

在选用电容器时，除了选择合适的电容量外，还需注意实际工作电压与电容器的额定电压是否相等。如果实际工作电压过高，介质就会被击穿，电容器就会损坏。

三、电感元件

1.电感元件的图形、文字符号

实际电感线圈就是用漆包线或纱包线或裸导线一圈靠一圈地绕在绝缘管上或铁芯上而又彼此绝缘的一种元件。在电路中多用来对交流信号进行隔离、滤波或组成谐振电路等。电感线圈简称线圈，在电路图中用字母“L”表示，电路图中常用线圈的符号如图所示。

电感线圈是利用电磁感应作用的器件。在一个线圈中，通过一定数量的变化电流，线圈产生感应电动势大小的能力就称为线圈的电感量，简称电感。电感常用字母“L”表示。

电感的SI单位是亨利，简称亨，通常用符号“H”表示。常用单位还有“μH”“mH”，它们的换算关系如下：

1H=106μH =103 mH 电感元件是从实际线圈抽象出来的理想化模型，是代表电路中储存磁场能量这一物理现象的理想二端元件。当忽略实际线圈的导线电阻和线圈匝与匝之间的分布电容时，可将其抽象为仅具有储存磁场能量的电感元件。2．电感元件的特性

任何导体当有电流通过时，在导体周围就会产生磁场；如果电流发生变化，磁场也随着变化，而磁场的变化又引起感应电动势的产生。这种感应电动势是由于导体本身的电流变化引起的，称为自感。

自感电动势的方向，可由楞次定律确定。即当线圈中的电流增大时，自感电动势的方向和线圈中的电流方向相反，以阻止电流的增大；当线圈中的电流减小时，自感电动势的方向和线圈中的电流方向相同，以阻止电流的减小。总之当线圈中的电流发生变化时，自感电动势总是阻止电流的变化。

自感电动势的大小，一方面取决于导体中电流变化的快慢，另一方面还与线圈的形状、尺寸、线圈匝数以及线圈中介质情况有关。

当电压、电流为关联参考方向时，线性电感元件的特性方程为：

uLdidt

它表明电感元件端钮间的电压与它的电流对时间的变化率成正比。比例常数L称为电感，是表征电感元件特性的参数。当u的单位为伏特(V)，i的单位为安培(A)时，L的单位为亨利，简称亨(H)。习惯上我们常把电感元件简称为电感，所以“电感”这个名词，既表示电路元件，又表示元件的参数。

本书只讨论线性电感元件。线性电感元件在电路图中用图示的符号表示。

若电压、电流为非关联参考方向，则电感元件的特性方程为：

uLdidt

从上式可得，只有当电感元件中的电流发生变化时，元件两端才有电压。电流变化越快，电压越高。当电流不变（直流电流）时，电压为零，这时电感元件相当于短路。并且，电感元件中的电流不能跃变，这是电感元件的一个重要性质。如果电流跃变，则要产生无穷大的电压，对实际电感线圈来说，这当然是不可能的。

在u、i关联参考方向下，线性电感元件吸收的功率为：

puiLididt

在t时刻，电感元件储存的磁场能量为：

W（t）L12Li（t）

2该式表明，电感元件在某时刻储存的磁场能量只与该时刻电感元件的电流有关。当电流增加时，电感元件从电源吸收能量，储存在磁场中的能量增加；当电流减小时，电感元件向外释放磁场能量。电感元件并不消耗能量，因此，电感元件也是一种储能元件。在选用电感线圈时，除了选择合适的电感量外，还需注意实际的工作电流不能超过其额定电流。否则，由于电流过大，线圈发热而被烧毁。

第四节电阻元件的交流电路

分析各种交流电路时，必须首先掌握单一理想元件电路中电压与电流的关系，它们之间的相量运算和相量图，以及对其功率和能量的分析。其它各种类型的交流电路无非是这些单一理想元件的不同组合而已。

纯电阻电路是最简单的交流电路，如图所示。在日常生活和工作中接触到的白炽灯、电炉、电烙铁等，都属于电阻性负载，它们与交流电源连接组成纯电阻电路。

纯电阻元件交流电路

在电阻R两端加上正弦电压u时，电阻中就有正弦电流i通过。假设电阻两端的电压与电流采用关联参考方向。为了分析方便起见，选择电压经过零值将向正值增加的瞬间作为计时起点，即设电阻两端电压为

u(t)Umsint

则

i(t)u(t)RUmRsintImsint

比较电压和电流的关系式可见：电阻两端电压u和电流i的频率相同，电压与电流的有效值（或最大值）的关系符合欧姆定律，而且电压与电流同相（相位差0）。它们在数

IUR 值上满足关系式

URI

或

表示电阻电压、电流的波形如图所示。

电阻电压电流的波形图

如用相量表示电压与电流的关系，则为

UeUj0U0

Iej0I0 IUUj0eRII

RI

或

U此即欧姆定律的相量表示式。它不仅表明了电压和电流之间的幅值（有效值）关系，而且还包含电压和电流之间的相位关系。电阻元件的电流、电压相量图如图所示。

电阻电路电压与电流的相量图

电阻元件的功率 1）瞬时功率

在纯电阻交流电路中，当电流i流过电阻R时，电阻上要产生热量，把电能转化为热能，电阻上必然有功率消耗。由于流过电阻的电流和电阻两端的电压都是随时间变化的。所以电阻R上消耗的功率也是随时间变化的。电阻中某一时刻消耗的电功率叫做瞬时功率，它等于电压u与电流i瞬时值的乘积，并用小写字母p表示。即

ppRuiUmImsint UmIm1cos2t22

UI(1cos2t)

上式表明：在任何瞬时，恒有p≥0，说明电阻只要有电流就消耗能量，将电能转为热能，它是一种耗能元件。下图表示了瞬时功率随时间变化的规律。由于电阻电压与电流同相，所以当电压、电流同时为零时，瞬时功率也为零；电压、电流到达最大值时，瞬时功率达最大值。

电阻元件瞬时功率的波形图

2）平均功率

瞬时功率虽然表明了电阻中消耗功率的瞬时状态，但不便于表示和比较大小，所以工程中常用瞬时功率在一个周期内的平均值表示功率，称为平均功率，用大写字母P表示。由

UmImUIIR2U2图所见：

P2R

表达方式与直流电路中电阻功率的形式相同，但式中的U、I不是直流电压、电流，而是正弦交流电的有效值。

例7 图4.14电路中，R10，uR102sin(t30)V，求电流i的瞬时值表达式，相量表达式和平均功率P。

解：由uR102sin(t30)V得

1030URV

U1030IR130R10A

i2sin(t30)

PURI10110W

第五节电感元件的交流电路

1．元件的电压和电流关系

若把线圈的电阻略去不计，则线圈就仅含有电感，这种线圈被认为是纯电感线圈。如图所示。实际上线圈总是有些电阻的。

当线圈中通过交流电流i时，就产生自感电动势eL来反抗电流的变化。由基尔霍夫电压定律可知在任一瞬时总有

uLeL

eLLdidt

didt

因为

所以

设电路正弦电流为

uLeLLiImsint

在电压、电流关联参考方向下，可知电感元件两端电压为

uLdidtLImcost

LImsin(t90)

Umsin(t90)

比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压u和电流i也是同频率的正弦量，电压的相位超前电流90°，电压与电流在数值上满足关系式

UmUmLIm

或

ImUIL

表示电感电压、电流的波形如图所示。

电感元件电压与电流的波形图

2．感抗的概念

上式中电感电压有效值（或最大值）与电流有效值（或最大值）的比值为ωL，它的单位是欧姆。当电压U一定时，ωL越大，则电流I越小。可见电感具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为感抗，用XL表示，即

XL＝L＝2fL

感抗是交流电路中的一个重要概念，它表示线圈对交流电流阻碍作用的大小。从XL=2πfL可知，感抗的大小与线圈本身的电感量L和通过线圈电流的频率有关。f越高，XL越大，意味着线圈对电流的阻碍作用越大；f越低，XL越小，即线圈对电流的阻碍作用也越小。当f=0时XL=0，表明线圈对直流电流相当于短路。这就是线圈本身所固有的“直流畅通，高频受阻”作用。由于这个特性，电感线圈在电子及电工技术中有广泛的应用。

如用相量表示电压与电流的关系，则为

UeUj90U90

Iej0I0 IUUj90ejXLII

或

UjXLIjLI

上式表示电压的有效值等于电流的有效值与感抗的乘积，相位上电压比电流超前90°。

电感元件的电压、电流相量图如图所示。

3．电感元件的功率

1）瞬时功率

知道了电压u和电流i的变化规律和相互关系后，便可找出瞬时功率的变化规律，即 ppLuiUmsin(t90)Imsint12UmImsin2t

UIsin2t

由式可见，电感元件的瞬时功率pL仍是一个按正弦规律变化的正弦量，只是变化频率是电源频率的两倍。其功率曲线如图所示。

纯电感电路瞬时功率的波形图

从功率波形图可看出，正弦交流电路中的理想电感不断地与电源进行能量交换，但却不消耗能量。

2）平均功率

纯电感条件下电路中仅有能量的交换而没有能量的损耗。电感元件的平均功率为

PL0

纯电感L虽不消耗功率，但是它与电源之间有能量交换。工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时功率的最大值定义为电感的无功功率，简称感性无功功率，用QL表示。即

QLUIIXL2U QL的基本单位是乏（var）。

无功功率并不是“无用”的功率，它的含义是表示电源与电感性负载之间能量的交换。许多设备在工作中都和电源存在着能量的交换。如异步电动机、变压器等要要依靠大市场的变化来工作，磁场的变化会引起磁场能量的变化，这就说明设备和电源之间存在能量的交换。因此发电机除了发出有功功率以外，还要发出适量的无功功率以满足这些设备的需要。

例8 把一个电感量为0.35H的线圈，接到u220求线圈中电流瞬时值表达式。

解：由线圈两端电压的解析式

u2202sin(100πt60)V

2sin(100πt60)V的电源上，可以得到

U220V，100πrad/s, 60

22060V 电压u所对应的相量为

U线圈的感抗为

XLL1003.140.35110Ω

U22060LILA2(30)jX190110L因此可得

i22sin(100πt因此通过线圈的电流瞬时值表达式为)6A 第六节电容元件的交流电路

1．元件的电压和电流关系

纯电容电路如图所示。

当电压发生变化时，电容器极板上的电荷也要随着发生变化，在电路中就引起电流

idqdtCdudt

如果在电容C两端加一正弦电压

uUmsint 则

iCdudtCUdmdt(sint)CUmcostCUmsin(t90)Imsin(t90)

比较电压和电流的关系式可见：电容两端电压u和电流i也是同频率的正弦量，电流的相位超前电压90°，电压与电流在数值上满足关系式

UmUI1ImCUm

或

ImC

表示电容电压、电流的波形如图所示。

2．容抗的概念

1式中电容电压有效值（或最大值）与电流有效值（或最大值）的比值为C，它的单

1位也是欧姆。当电压U一定时，C越大，则电流I越小。可见电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，所以称为容抗，用XC表示，即

11XC=C=2fC

容抗XC与电容C，频率f成反比。是因为电容越大时，在同样电压下，电容器所容纳的电荷量就越大，因而电流越大。当频率越高时，电容器的充电与放电就进行得越快，在同样电压下，单位时间内电荷的移动量就越多，因而电流越大。所以电容元件对高频电流所呈现的容抗很小，相当于短路；而当频率f很低或f=0（直流）时，电容就相当于开路。这就是电容的“隔直通交”作用，电容这一特性在电子技术中被广泛应用。

如用相量表示电压与电流的关系，则为

UeUj0U0

Iej90I90 IUUj90ejXCII

IIUjXCIjCjC

或

上式表示电压的有效值等于电流的有效值与容抗的乘积，相位上电压比电流滞后90°。

电容元件的电压、电流相量图如图所示。

3．电容元件的功率

1）瞬时功率

电容元件瞬时功率的变化规律：

ppCuiUmsintImsin(t2)UmImsintcost

UmIm2sin2tUIsin2t