优秀教案14双曲线的简单几何性质(精)由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“双曲线几何性质教案”。
2.2.2 双曲线的简单几何性质(1 教材分析
本节内容是数学选修 2-1第二章第三节《双曲线的简单几何性质》,是在学习完了椭圆基本知识和双曲 线的标准方程之后要研究的课题.它是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础;有 助于学生理解、体会利用代数方法研究几何问题的解析几何观念, 提高学生的数学素质.本节课的重点是双曲 线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程;难点是渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关 系, 以及双曲线的另一种定义的得出过程.通过探究双曲线的简单几何性质, 可以很好地培养学生分析问题、解决问题的能力,要求学生有意识地运用数形结合思想、分类讨论思想,在解决新问题的过程中,又要自觉 的运用化归与转化思想,体现解决数学问题的一般思路与方法.课时分配
本节内容计划用 2课时的时间完成,本节课为第一课时,主要讲解双曲线的简单几何性质及双曲线的另 一种定义.教学目标
重点 : 双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程.难点:渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关系,以及双曲线的另一种定义的得出过程.知识点:双曲线简单的几何性质.能力点:如何运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题,数形结合、分类讨论的数学思想的运用.教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.自主探究点:双曲线的另一种定义方式.考试点:用双曲线的简单几何性质解决简单的数学问题.易错易混点:在运用几何性质时学生容易与椭圆的几何性质混淆出现错误.拓展点:双曲线渐近线的深入理解及几类特殊的双曲线.教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学
一、复习引入
我们已经学习过椭圆的简单几何性质,并且研究了直线与椭圆的位置关系,那么双曲线有哪些几何性质 呢?本节课我们就一起来研究一下双曲线的几何性质.【设计意图】 通过回顾椭圆与双曲线的定义及标准方程,使学生学会类比,通过类比椭圆的简单几何性质 进而引入本节课所要研究的双曲线的几何性质,通过类比熟悉的内容去学习新的内容消除了学生心理上的 恐惧,更有利于新知识的接受与理解.二、探究新知 1.范围、对称性 由标准方程 12222=-b y a x 可得 2 2a x ≥,当 a x ≥时, y 才有实数值;对于 y 的任何值, x 都有实数
这说明从横的方向来看,直线 , x a x a =-=之间没有图像,从纵的方向来看,随着 x 的增大, y 的绝
对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,双曲线的图像关于 x 轴、y 轴及坐标原点都对称,但
不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心.2.顶点
顶点:(0, , 0,(21a A a A-特殊点:(b B b B-, 0, , 0(21 实轴:21A A 长为 2a , a 叫做半实轴长.虚轴:21B B 长为 2b , b 叫做虚半轴长.结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程 122 22=-b y a x 中,令 0y =得 a x ±=,故它与 x 轴有两个 交点(0, , 0,(21a A a A-,且 x 轴为双曲线 122 22=-b
y a x 的对称轴,所以(0, , 0,(21a A a A-与其对称轴的交
点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对称轴的交点 ,而对称轴上位于两顶点间的线段
21A A 叫做双曲线 12222=-b y a x 的实轴长,它的长是 2a.在方程 122 22=-b y a x 中令 0x =得 22b y-=,这个
方程没有实数根,说明双曲线和 y 轴没有交点.但 y 轴上的两个特殊点(b B b B-, 0, , 0(21,这两个点在双 曲线中也有非常重要的作用.把线段 21B B 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b.要特别注意不要把虚轴与椭圆 的短轴混淆.双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异.3.渐近线
过双曲线 122 22=-b y a x 的两顶点 21, A A , 作 y 轴的平行线 a x ±=, 经过 21, B B 作 x 轴的平行线 b y ±=, 四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是 x a b y ±=(0=± y x , 这两条直线就是双曲 线的渐近线.分析:要证明直线 x a b y ±=(0=±b y a x 是双曲线 1 2222=-b y a x 的渐近线,即要证明随着 x 的增大,直线和曲线越来越靠拢.也即 如图所示要证曲线上的点到直线的距离 MQ 越来越短, 因此把问
题转化为计算 MQ.但因 MQ 不好直接求得, 渐 近 线 是 双 曲 线 具 有 的 性 质.||||(b b MQ MN x x a a
=-=(||MQ 0−−→−∞ →x
.两类特殊双曲线: A.等轴双曲线
如果 a b =则双曲线的实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线.结合图形说明:a b =时,双曲线方程变成 2 2 2
a y x =-(或 2 b ,它的实轴和都等于 2(2 a b ,这时直线围 成正方形,渐近线方程为 x y ±=.它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.B.共轭双曲线(共渐近线的双曲线系 如 果 已 知 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 x a b y ±
= 0(>±=k x ka kb , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 : 0(1((2222>±=-k kb y ka x 或写成 λ=-22 22b y a x.这样的一组双曲线叫做互为共轭双曲线.【设计意图】 通过这两类特殊的双曲线的介绍, 使学生对双曲线的渐近线这一特别的概念有个深入的理解, 为解决有关渐近线的综合题目做铺垫,在已知渐近线方程求双曲线标准方程式时要考虑共轭的情况.4.离心率
双曲线的焦距与实轴长的比 a c e = ,叫做双曲线的离心率.0, 1c a e >>∴>.b a ===.因此 e 越大, b a 也越大,即渐近线 b y x a
=±的斜率的绝对值越大, 这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔.【设计意图】 通过介绍双曲线的离心率的定义,类比椭圆的离心率,明确两类圆锥曲线离心率的范围.【设计说明】 本环节为和学生一起探究新知的过程, 通过类比椭圆的简单几何性质得出双曲线的几何性质, 为接下来应用双曲线几何性质解题做了铺垫.三、理解新知
渐近线是双曲线所特有的,注意理解无限接近,但永远也达不到的意义.渐近线是双曲线的难点,结合两 类特殊的双曲线去理解会比较简单,互为共轭双曲线的两条双曲线是有相同的渐近线的.双曲线 12222=-b y a x 的渐近线方程为:x a b y ±=;双曲线 22221y x a b-=的渐近线方程为:a y x b =±.四、运用新知 例 1 求双曲线 2 2 916144y x-=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解:把方程化为标准方程.13 422 22=-x y 由此可知实半轴长 4a =, 虚半轴长 3b =
.5c ===,焦点的坐标是(0,5,(0,5-;离心率为:5 4 c e a =
=;渐近线方程为 34x y =± , 43 y x =±即.【设计意图】 本例主要是考查学生对双曲线基本概念的掌握情况, 进而可以由这些条件画出双曲线的草图.练习:61KP 练习 1 例 2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12m ,上 口半径为 13m ,下口半径为 25m ,高 55m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到 1m.解 :如 图 , 建 立 直 角 坐 标 系 xOy , 在 使小圆的直径 A A '轴上, 在 x 圆 心 与 原 点 重
合.轴, 平行于、上、下口的直径 x B B C C ''且 m(213' ⨯=CC.m(225' ⨯=BB 设双曲线的方程为.0, 0(122 22>>=-b a b y a x
令点 C 的坐标为(13, y ,则点 B 的坐标为(25, y− 55.∵点 B、C 在双曲线上,则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--13, 2(2112(11 55(12252 2 22 2 22b y b y ⇒(12 5舍负值 b y = 代入① , 消 y 得 0***=-+b b ③ 解方程③,得 b ≈ 25(m.∴所求方程为.1625 1442 2=-y x y x
o A' B' C' A B C 131225 练习:61KP 练习 2, 3 【设计意图】 本例为实际问题,主要考查学生求解双曲线的标准方程的能力,将实际问题抽象出数学模型 来再去通过建立适当的坐标系求出双曲线的标准方程.例 3点(, M x y 与定点 F(5,0距离和它到定直线 16:5l x = 的距离之比是常数 5 4 , 求点 M 的轨迹方程.分析:利用求轨迹方程的方法 求解.解 :设 d 是点 M 到直线 l 的距离 , 根据题意 , 所求轨迹就是集合 || MF P M d
⎧=⎨⎩ 即
= 22 1169x y-=化简得
所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线.由本例可知 :定点 F(5,0为该双曲线的焦点 , 定直线 16 :5 l x =为 2a x c =, 常数为离心率 a c e = >1.[提出问题 ]:(从特殊到一般 将上题改为:点 M(x,y与定点 F(c,0距离和它到定直线 2 :a l x c =的距离之比
是常数 1c e a = >, 求点 M 的轨迹方程.解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离, 根据题意 , 所求轨迹就是集合 P={M|||5 MF d =}, 即 c a = 化简得 2 2 2 2 2 2 2 2((c a x a y a c a--=-两边同时除以 2 2(a c a-得 22 221x y a b-=(0, 0 a b >>其中
【设计意图】 通过本例引出双曲线的第二定义,为更好的理解双曲线的几何性质打下基础.[变式练习 ]已知(3,1A ,(2,0F ,在双曲线 2 2 13
y x-=上求一 点 P ,使 12 PA PF + 得值最小,并求出最小值.分析:解本题的关键是利用第二定义将 12
PA PF + 中的 12PF 进 行转化.解 :由 题 意 可 得 2e =, 设 点 P 到 右 准 线 的 距 离 为 d , 则 2PF e d ==,即 12 PF d =,所以要求 12 PA PF + 的最小值, c 即为 的最小值，由图可得最小距离为：，此时 P(3 c 2
五、课堂小结 教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：
1、知识：双曲线的简单几何性质
2、思想：分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想． 教师总结: 本节课我们学习了另一类特殊的圆锥曲线，双曲线的简单几何性质，主要是通过类比椭圆的几 何性质得出的，当然也有双曲线自己所独有的渐近线的相关性质，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前 面学过的内容,“温故而知新” ．在应用中增强对知识(如本节的渐近线的相关性质的理解，及时查缺补漏,从而 更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知
识、思想方法的认识与自觉运用． [设计意图] 加强对学生学习方法的指导，做到“授人以渔” ．
六、布置作业 1．阅读教材 P56—60； 2.书面作业 必做题：课本习题 2.3A 组1、2、3、4 本节《自主学习丛书》 选做题：课本习题 2.3B 组 4 3．课外思考 如何类比直线与椭圆的位置关系来研究直线与双曲线的位置关系呢？ 【设计意图】设计作业 1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是 为了让学生能够运用双曲线的简单几何性质，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生加深对双曲线 几何性质的理解，通过类比、探究得出新的内容.七、教后反思 1.本教案的亮点是变式训练.在例 3 的教学后，提出问题，由特殊到一般，得出双曲线的第二定义，变式 训练又在不知不觉中提高了难度，是对第二定义的很好的应用，提高了学生的解题能力． 2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在双曲线渐近线的探寻上下足功夫.3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，并给予针对性地诊 断与分析.八、板书设计 2．3．2 双曲线的简答几何性质（1）
一、复习引入 运用新知 例1 例2
二、探究新知
1、范围、对称性
2、顶点
3、渐近线
4、离心率 例3 变式训练： 课堂小结 作业
